Сравнение чисел. Исчерпывающий гид (2019)

В этой статье дается подробный обзор наиболее важных моментов, касающихся сравнения рациональных чисел . Если знаки сравниваемых чисел различны, то можно сразу сказать, какое число больше, а какое меньше, поэтому в самом начале мы разберем правило сравнения рациональных чисел с разными знаками. Дальше остановимся на сравнении нуля с другим рациональным числом. После этого подробно остановимся на сравнении положительных рациональных чисел. Наконец, перейдем к правилу сравнения отрицательных рациональных чисел. Теорию будем разбавлять решениями характерных примеров.

Навигация по странице.

Сравнение рациональных чисел с разными знаками

Проще всего выполнить сравнение двух рациональных чисел, имеющих разные знаки . При этом используется правило сравнения чисел с разными знаками : любое положительное число больше любого отрицательного, а любое отрицательное число меньше положительного.

Например, из двух рациональных чисел 5/7 и −0,25 больше число 5/7 , так как оно положительное, а меньше число −0,25 , так как оно отрицательное. Еще пример: отрицательное рациональное число меньше, чем положительное рациональное число 0,000(1) .

Сравнение рационального числа с нулем

Очень просто проводится сравнение нуля с рациональным числом , отличным от нуля. При этом справедливо правило: любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число меньше нуля.

Приведем пару примеров сравнения рационального числа с нулем. Число 4/9 больше, чем 0 , так как 4/9 – положительное число, с другой стороны 0 меньше, чем 4/9 . Еще пример: число 0 больше, чем отрицательное рациональное число −45,5 , с другой стороны число −45,5 меньше нуля.

Также нужно сказать, про сравнение нуля с нулем : нуль равен нулю, то есть, 0=0 .

Здесь нужно заметить, что число нуль может быть записано в виде, отличном от 0 . Действительно, числу 0 отвечает любая запись вида 0/n , где n – любое натуральное число, или записи 0,0, 0,00, … , вплоть до 0,(0) . То есть, например, при сравнении двух рациональных чисел, записи которых имеют вид 0,00 и 0/3 , заключаем, что они равны, так как эти записи отвечают числам 0 и 0 соответственно.

Сравнение положительных рациональных чисел

Сравнение положительных рациональных чисел следует начинать со сравнения их целых частей. При этом используется следующее правило: больше то число, целая часть которого больше, а меньше то число, целая часть которого меньше.

Пример.

Какое из рациональных чисел 0,76 и больше?

Решение.

Сравниваемые рациональные числа положительные, причем достаточно очевидно, что целая часть числа 0,76 , равная нулю, меньше целой части числа , равной двум (при необходимости смотрите сравнение целых чисел). Следовательно, , значит, из двух исходных чисел больше число .

Ответ:

Нюансы в применении указанного выше правила могут возникнуть лишь тогда, когда одним из сравниваемых чисел является периодическая десятичная дробь с периодом 9 , о чем мы упоминали в разделе равные и неравные десятичные дроби .

Пример.

Сравните рациональные числа 15 и 14,(9) .

Решение.

Периодическая дробь с периодом 9 вида 14,(9) является лишь одной из форм записи числа 15 . То есть, 15=14,(9) .

Ответ:

Исходные рациональные числа равны.

Если же целые части сравниваемых рациональных чисел равны, итоговый результат сравнения поможет получить сравнение дробных частей. Дробную часть рационального числа всегда можно представить в виде обыкновенной дроби m/n , а также в виде конечной или периодической десятичной дроби . Таким образом, сравнение дробных частей двух положительных рациональных чисел всегда можно свести к сравнению обыкновенных дробей или к сравнению десятичных дробей . В итоге из двух положительных рациональных чисел с равными целыми частями больше то, дробная часть которого больше, а меньше то – дробная часть которого меньше.

Пример.

Проведите сравнение положительных рациональных чисел 3,7 и .

Решение.

Очевидно, целые части сравниваемых рациональных чисел равны 3=3 . Переходим к сравнению дробных частей, то есть, к сравнению чисел 0,7 и 2/3 .

Покажем два способа.

В первом из осуществим перевод десятичной дроби в обыкновенную : 0,7=7/10 . Приходим к сравнению обыкновенных дробей 7/10 и 2/3 . После их приведения к общему знаменателю 30 получаем , откуда следует, что и . Следовательно, .

Во втором варианте решения выполним перевод обыкновенной дроби в десятичную , имеем . Так от сравнения 0,7 и 2/3 мы пришли к сравнению десятичных дробей 0,7 и 0,(6) , результат которого таков: 0,7>0,(6) . Следовательно, и .

Очевидно, оба способа нас привели к одинаковому результату сравнения исходных рациональных чисел.

Ответ:

Если равны и целые и дробные части сравниваемых положительных рациональных чисел, то эти числа равны.

Пример.

Сравните числа 4,5 и .

Решение.

Очевидно, целые части чисел равны. Дробная часть числа 4,5 равна 0,5 , перевод этой десятичной дроби в обыкновенную дает 1/2 . Таким образом, дробные части исходные чисел тоже равны. Следовательно, исходные рациональные числа равны.

Ответ:

Закончим этот пункт следующим утверждением: если записи сравниваемых чисел полностью совпадают, то эти числа равны. Действительно, в этом случае равны и целые части и дробные части сравниваемых чисел. Например, равными являются рациональные числа 5,698 и 5,698 , также равны числа и .

Сравнение отрицательных рациональных чисел

Сравнение отрицательных рациональных чисел подчиняется правилу сравнения отрицательных чисел : из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше, и меньше то, модуль которого больше.

Это правило сводит сравнение отрицательных рациональных чисел к сравнению положительных рациональных чисел, разобранному в предыдущем пункте.

Существуют определённые правила сравнения чисел. Рассмотрим следующий пример.

Вчера термометр показывал 15˚ C, а сегодня показывает 20˚ C. Сегодня теплее, чем вчера. Число 15 меньше числа 20, можем записать так: 15 < 20. А, если мы представим эти числа на координатной прямой, то точка со значением 15 будет расположена левее точки со значением 20.

А сейчас рассмотрим отрицательные температуры. Вчера на улице было -12˚ C, а сегодня -8˚ C. Сегодня теплее, чем вчера. Поэтому считают, что число -12 меньше числа -8. На горизонтальной координатной прямой точка со значением -12 расположена левее точки со значением -8. Можем записать так: -12 < -8.

Итак, если сравнивать числа с помощью горизонтальной координатной прямой, из двух чисел меньшим считается то, изображение которого на координатной прямой расположено левее, а большим то, изображение которого расположено правее. Например, у нас на рисунке А > B и C, но B > C.

На координатной прямой положительные числа располагаются справа от нуля, а отрицательные – слева от нуля, всякое положительное число больше нуля, а всякое отрицательное меньше нуля, и поэтому всякое отрицательное число меньше всякого положительного числа.

Значит, первое на что необходимо обратить внимание при сравнении чисел, – это знаки сравниваемых чисел. Число с минусом (отрицательное) всегда меньше положительного.

Если же мы сравниваем два отрицательных числа, то нужно сравнить их модули: большим будет то число, модуль которого меньше, а меньшим то число, модуль которого меньше. Например, -7 и -5. Сравниваемые числа – отрицательные. Сравниваем их модули 5 и 7. 7 больше чем 5, значит -7 меньше чем -5. Если отметить на координатной прямой два отрицательных числа, то левее окажется меньшее число, а большее будет расположено правее. -7 расположено левее -5, значит -7 < -5.

Сравнение обыкновенных дробей

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель.

Можно сравнивать дроби только с одинаковыми знаменателями.

Алгоритм сравнения обыкновенных дробей

1) Если у дроби есть целая часть, сравнение начинаем именно с неё. Большей будет та дробь, у которой целая часть больше. Если целой части у дробей нет или они равны, переходим к следующему пункту.

2) Если дроби с разными знаменателями необходимо привести их к общему знаменателю.

3) Сравниваем числители дробей. Большей будет та дробь, у которой числитель больше.

Обратите внимание, дробь с целой частью всегда будет больше дроби без целой части.

Сравнение десятичных дробей

Десятичные дроби можно сравнивать только с одинаковым количеством цифр (знаков) справа от запятой.

Алгоритм сравнения десятичных дробей

1) Обращаем внимание на количество знаков справа от запятой. Если количество цифр одинаковое, можем приступать к сравнению. Если – нет, дописываем нужное количество нулей в одной из десятичных дробей.

2) Сравниваем десятичные дроби слева направо: целые с целыми, десятые с десятыми, сотые с сотыми и т.д.

3) Большей будет та дробь, в которой одна из частей окажется больше, чем в другой дроби (сравнение начинаем с целых чисел: если целая часть одной дроби больше, значит, и вся дробь больше).

Например, сравним десятичные дроби:

1) Допишем в первой дроби необходимое количество нулей, чтобы уравнять количество знаков после запятой

57,300 и 57,321

2) Сравнивать начинаем слева направо:

целые с целыми: 57 = 57;

десятые с десятыми: 3 = 3;

сотые с сотыми: 0 < 2.

Так как сотые первой десятичной дроби оказались меньше, вся дробь и будет меньше:

57,300 < 57,321

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Вариант 1

F (–5,78).

а) –5,78; б) 5,78; в) 5; г) другой ответ.

M (–3) и N (1) координатной прямой.

а) 2; б) 3; в) 4; г) другой ответ.

3. Сколько натуральных чисел на координатной прямой между числами –4 и 8,6?

а) 11; б) 12; в) 13; г) другой ответ.

4. Какие целые числа расположены на координатной прямой между числами –2,3 и 2,78?

а) 1; 2; б) 0; 1; 2; в) –2; –1; 0; 1; 2; г) другой ответ.

а) 8; б) 18; в) 13; г) другой ответ.

6. Сравните модули чисел –47,2 и –47,8.

а) |–47,2| =| –47,8|; б) |–47,2| < |–47,8|; в) |–47,2| > |–47,8|; г) нельзя сравнить.

7. Сравните числа

а) ; б) ; в) ; г) нельзя сравнить.

8. Расположите числа 3; –2,5; 1,85; –1,99; –2,49; 3,01 в порядке возрастания.

а) 3,01; 3; 1,85; –1,99; –2,5; –2,49;

б) –1,99; –2,49; –2,5; 1,85; 3; 3,01;

в) –2,5; –2,49; –1,99; 1,85; 3; 3,01;

г) другой ответ.

9. Какие цифры можно записать вместо звездочки, чтобы получилось верное неравенство ?

а) 1, 2, 3, 4; б) 0, 1, 2, 3, 4; в) 6, 7, 8, 9; г) другой ответ.

10. Найдите значения все значения х , для которых

а) –5,7; б) 5,7; в) 5,7 и –5,7; г) другой ответ.

Вариант 2

Запишите номера заданий и буквы правильных ответов.

1. Найдите расстояние от начала координат до точки G (–6,7).

а) –6,7; б) 6,7; в) 6; г) другой ответ.

2. Найдите расстояние в единичных отрезках между точками P (–2) и S (4) координатной прямой.

а) 6; б) 2; в) 8; г) другой ответ.

3. Сколько натуральных чисел расположено на координатной прямой между числами –2 и 7,02?

а) 9; б) 8; в) 7; г) другой ответ.

4. Какие целые числа расположены на координатной прямой между числами –3,7 и 2,9?

а) 1; 2; б) 0; 1; 2; в) –3;–2; –1; 0; 1; 2; г) другой ответ.

5. Найдите значение выражения

а) 6; б) 5; в) 20; г) другой ответ.

6. Сравните модули чисел –52,9 и –52,3.

а) –|52,9| = |–52,3|; б) |–52,9| < |–52,3|; в) |–52,9| > |–52,3|; г) нельзя сравнить.

7. Сравните числа .

а) ; б) ; в) ; г) нельзя сравнить.