Формулы перехода от одного базиса к другому. Переход к новому базису

Дата: 12.06.2022

Головизин В.В. Лекции по алгебре и геометрии. Лекция 24. 6

Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 2.

Лекция 24. Матрица перехода и ее свойства.

Краткое содержание: конечномерное векторное пространство и существование его базиса, дополнение до базиса, разложение вектора по базису, координаты вектора относительно базиса, действия с векторами в координатной форме, изоморфизм векторного пространства и пространства столбцов, матрица перехода от одного базиса к другому, изменение координат вектора при изменении базиса, свойства матрицы перехода.

п.1. Существование базиса векторного пространства.

Определение. Векторное пространство называется конечномерным, если оно обладает конечной порождающей системой векторов.

Замечание. Мы будем изучать только конечномерные векторные пространства. Несмотря на то, что мы уже довольно много знаем о базисе конечномерного векторного пространства, у нас нет уверенности, что базис такого пространства вообще существует. Все ранее полученные свойства были получены в предположении, что базис существует. Следующая теорема закрывает этот вопрос.

Теорема. (О существовании базиса конечномерного векторного пространства.)

Любое конечномерное векторное пространство обладает базисом.

Доказательство. По условию существует конечная порождающая система векторов данного конечномерного векторного пространства V:
.

Заметим сразу же, что если порождающая система векторов является пустой, т.е. не содержит ни одного вектора, то по определению полагают, что данное векторное пространство является нулевым, т.е.
. В этом случае по определению полагают, что базисом нулевого векторного пространства является пустой базис и его размерность по определению полагают равной нулю.

Пусть далее, ненулевое векторное пространство и система ненулевых векторов
является его конечной порождающей системой.

Если эта система линейно независимая, то все доказано, т.к. линейно независимая и порождающая система векторов векторного пространства является его базисом.

Если же данная система векторов является линейно зависимой, то один из векторов этой системы линейно выражается через оставшиеся и его можно удалить из системы, причем оставшаяся система векторов, будет по-прежнему порождающей.

Перенумеруем оставшуюся систему векторов:
. Далее рассуждения повторяются.

Если эта система линейно независимая, то она является базисом. Если же нет, то снова найдется вектор в этой системе, который можно удалить, а оставшаяся система будет порождающей.

Повторяя этот процесс, мы не можем остаться с пустой системой векторов, т.к. в самом крайнем случае мы придем к порождающей системе из одного ненулевого вектора, которая является линейно независимой, а, следовательно, базисом. Поэтому, на каком-то шаге мы приходим к линейно независимой и порождающей системе векторов, т.е. к базису, ч.т.д.

Теорема доказана.

Лемма. Пусть . Тогда:

1. Любая система из вектора является линейно зависимой.

2. Любая линейно независимая система из векторов является его базисом.

Доказательство. 1). По условию леммы, число векторов в базисе равно и базис является порождающей системой, поэтому число векторов в любой линейно независимой системе не может превосходить, т.е. любая система содержащаявектор является линейно зависимой.

2). Как следует из только что доказанного, любая линейно независимая система из векторов этого векторного пространства является максимальной, а следовательно, базисом.

Лемма доказана.

Теорема (О дополнении до базиса.) Любая линейно независимая система векторов векторного пространства может быть дополнена до базиса этого пространства.

Доказательство. Пусть векторное пространство размерностиnи
некоторая линейно независимая система его векторов. Тогда
.

Если
, то по предыдущей лемме, эта система является базисом и доказывать нечего.

Если же
, тогда данная система является не максимальной линейной независимой системой (иначе она была бы базисом, что невозможно, т.к.). Следовательно, найдется вектор
, такой, что система
– линейно независимая.

Если, теперь , то система
является базисом.

Если же
, все повторяется. Процесс пополнения системы не может продолжаться бесконечно, т.к. на каждом шаге мы получаем линейно независимую систему векторов пространства, а по предыдущей лемме число векторов в такой системе не может превышать размерности пространства. Следовательно, на каком-то шаге мы придем к базису данного пространства.

Теорема доказана.

Пример. Пусть К - произвольное поле,
– арифметическое векторное пространство столбцов высоты. Тогда
.

Для доказательства рассмотрим систему столбцов этого пространства:

, , ... ,.

Мы уже доказали, что эта система линейно независимая. Докажем, что она является порождающей системой столбцов пространства .

Пусть
- произвольный столбец. Тогда очевидно равенство:. Т.е. система
- порождающая и, следовательно, является базисом. Отсюда,
, ч.т.д.

Определение. Базис

, , ... ,

арифметического векторного пространства столбцов
высотыnназывается каноническим или естественным.

Упражнение.

Докажите, что если порождающая система векторов содержит нулевой вектор, то после его удаления из системы, оставшаяся система векторов будет тоже порождающей.

п.2. Действия с векторами в координатной форме.

Пусть
– базис векторного пространстваVнад полемKи
– произвольный вектор векторного пространстваV. Из определения базиса следует, что любой вектор
можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов и притом единственным образом:

Определение. Равенство (1) называется разложением вектора х по базису
. Коэффициенты линейной комбинации (1):
называются координатами вектора х относительно базиса
.

Теорема. Пусть
– базис векторного пространстваVнад полемK. Отображение

которое каждому вектору
ставит в соответствие упорядоченный набор
его координат относительно данного базиса является биекцией, т.е. взаимно однозначным соответствием.

Доказательство. Для каждого вектора векторного пространства Vсуществует единственный набор его координат, поэтому соответствиеявляется, по определению, отображением.

Докажем, что отображение является сюръекцией. Пусть
– произвольный набор скаляров. Тогда положим, по определению,

Так как V– векторное пространство над полемK, то произведение базисных векторов на скаляры поляKявляются векторами векторного пространстваV:

,
.

Сумма векторов векторного пространства Vтакже является его вектором, т.е.

Таким образом, для любого упорядоченного набора из nскаляров поляKсуществует вектор
, для которого этот набор скаляров является его координатами относительно данного базиса, т.е.

Докажем, что отображение является инъекцией.

Пусть,
– два произвольных вектора векторного пространства и
. Мы хотим доказать, что
. Допустим противное, что различным векторам отображениеставит в соответствие один и тот же набор скаляров:

Из определения отображения следует, что этот набор скаляров является координатами как вектора х, так и вектора у относительно базиса
, т.е.

и , откуда следует, что
. Получили противоречие, следовательно, различные векторы имеют различные координаты и
, ч.т.д.

Таким образом, отображение является инъекцией и сюръекцией, т.е. биекцией, ч.т.д.

Теорема доказана.

Замечание. В дальнейшем, координаты вектора х будем записывать столбцом и обозначать:

В соответствии с обозначениями предыдущей теоремы, будем писать:

В этих обозначениях справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть относительно фиксированного базиса
векторного пространстваVнад полемK

,
, где
– произвольные векторы, и пусть
– произвольный скаляр. Тогда справедливы равенства:

;

2)
или

Другими словами, при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении скаляра на вектор его координаты умножаются на этот скаляр.

Доказательство. Пусть

Складывая вектора х и у, и умножая вектор х на скаляр , получаем:

Теорема доказана.

п.3. Изоморфизм векторных пространств.

Определение. Пусть VиW– произвольные векторные пространства над полем К. Отображение
называют гомоморфизмом (или линейным отображением) векторного пространствав векторное пространство
, если
,
:

2)
.

Определение. Пусть VиW– произвольные векторные пространства над полем К. Гомоморфизм
называют изоморфизмом векторного пространствав векторное пространство
, если отображениеявляется биекцией (т.е. взаимно однозначным соответствием).

Определение. Если существует изоморфизм
, то векторное пространствоназывают изоморфным векторному пространству
.

Обозначение:
.

Теорема. На множестве векторных пространств над одним и тем же полем Kотношение изоморфизма является отношением эквивалентности, т.е. это отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности:

1) свойство рефлексивности:
– любое векторное пространствоизоморфно самому себе;

2) свойство симметричности:
;

3) свойство транзитивности: .

Следствие. Если V– векторное пространство над полемKи
, то векторное пространствоVизоморфно арифметическому векторному пространству столбцов высотыn:
.

Доказательство. Отображение
, определенное правилом
,

где Х – столбец координат вектора х относительно фиксированного базиса
векторного пространстваVнад полемK, является:

1) гомоморфизмом векторных пространств, т.е.

,
верны равенства

и
;

2) биекцией.

Отсюда по определению изоморфизма векторных пространств следует, что
, ч.т.д.

Отсюда и из следствия легко получить следующий результат.

Теорема. Два конечномерных векторных пространства над одним и тем же полем изоморфны тогда и только тогда, когда равны их размерности.

Отсюда, в частности, следует, что в одном классе эквивалентности оказываются те и только те векторные пространства, которые имеют одинаковую размерность.

Последнее следствие очень важно с практической точки зрения. Какова бы ни была природа векторов векторного пространства: направленные отрезки, многочлены, функции, матрицы или что-либо другое, мы можем заменить изучаемое векторное пространство на изоморфное ему пространство столбцов соответствующей высоты и работать со скалярами, т.е. с числами.

Другими словами, говоря современным языком, мы производим оцифровку векторного пространства, т.е. элемент векторного пространства, вектор х, мы отождествляем с упорядоченным набором чисел, а действия с векторами, их сложение и умножение на скаляр, производим с помощью сложения и умножения чисел, что позволяет нам подключать компьютер при работе с любым конечномерным векторным пространством.

п.4. Матрица перехода.

Пусть
,
– два базиса произвольного векторного пространстваVнад полемK. Назовем первый базис "старым", а второй "новым". Разложим векторы нового базиса по старому базису:

(2)

(Обратите внимание на нумерацию коэффициентов!)

Каждое равенство в (2) можно записать в матричной форме, если мы формально воспользуемся правилом умножения строки на столбец. Пусть
– строка длины, элементами которой являются векторы старого базиса. Аналогично,
– вектор–строка нового базиса. Будем рассматривать эти строки как матрицы соответствующих размеров и производить с ними действия как с числовыми матрицами. (Такие действия можно обосновать.) Тогда,
,

Если мы обозначим столбец координат вектора через:

то последнее равенство можно записать в виде:

а всю систему равенств (2) – в виде:

Таким образом, равенства (2) в матричной форме записи имеют вид:

. (3)

Такая форма записи позволяет значительно облегчить выкладки.

Определение. Матрица

называется матрицей перехода от старого базиса
к новому базису
.

Матрицу перехода от базиса
к базису
мы обозначать буквой С или
или.

В этих обозначениях равенство (3) принимает вид:

п.5. Вычисление матрицы перехода в пространстве столбцов.

Для вычисления матрицы перехода применяется равенство (4). Пусть векторы и старого и нового базиса являются столбцами одной высоты, т.е. являются векторами пространства
. Тогда столбцы старого и нового базисов образуют матрицы:
,
. Подставляя их в равенство (4), получаем матричное равенство:

. (5)

Обозначая искомую матрицу перехода буквой Х, получаем матричное уравнение
, которое можно

решать методом Гаусса. Решая это матричное уравнение, находим матрицу перехода:

. (6)

Заметим, что столбцы
являются базисом пространства столбцов, а потому линейно независимы.

Далее, будет показано (посещайте лекции!), что если столбцы квадратной матрицы линейно независимы, то такая матрица является невырожденной, т.е. ее определитель не равен нулю, а сама матрица обратимая, т.е. имеет обратную.

п.6. Изменение координат вектора при изменении базиса.

Пусть
,
– два базиса произвольного векторного пространстваVи пусть
– произвольный вектор. Обозначим через
и
– столбцы координат вектора х относительно старого и нового базисов соответственно. В таких обозначениях справедлива следующая теорема, которая устанавливает связь между координатами одного и того же вектора в двух различных базисах.

Теорема.
.

Доказательство. Все выкладки проведем в матричной форме.

По условию теоремы

, (7)

где обозначено

Аналогично,

, (8)

где обозначено

– столбец координат вектора х относительно базиса
.

Подставляя в равенство (8) равенство (4), получаем:

Результатом произведения матрицы на столбец есть столбец, и из полученного равенства следует, что столбец
является столбцом координат вектора х относительно базиса
. А из равенства (7) следует, что столбец
также является столбцом координат вектора х относительно базиса
.

Так как любой вектор имеет относительно фиксированного базиса единственный столбец координат, то эти столбцы равны, т.е.

Теорема доказана.

п.7. Свойства матрицы перехода.

Лемма. Пусть А и В – две матрицы размера
над полемK. Если для любого столбца
выполняется равенство
, тогда
.

Доказательство. Пусть
– столбцы матрицы А,
– столбцы матрицы В,
– канонический базис пространства столбцов
.

Подставляем в равенство
вместо столбца Х столбцы канонического базиса. Получаем
равенство
. Легко проверить, что
, верны равенства
и
. Отсюда,
,
, а значит и
, ч.т.д.

– тогда смело читайте дальше! Потому что будет очень интересно – сегодня мы станем очевидцами самой настоящей революции в мире векторов! Такие эпохальные события происходят не каждый день, и поэтому нет ничего удивительного в том, что задачи перехода к новому базису и перехода к новой системе координат заметно реже встречаются на практике. Однако, это как раз та тема, которая вызывает наибольшую путаницу и недопонимание у студентов. Дело осложняется ещё и тем, что в различных источниках информации используются разные схемы подачи материала и разные обозначения

Но сейчас пришло время окончательно вас запутать «расставить все точки над i» и расстановка этих точек начинается с «плоского» случая. Кстати, и буква нужная сразу вспомнилась. Рассмотрим привычный ортонормированный базис и два подопытных вектора:

или: .

Как вы прекрасно знаете, любой другой вектор плоскости тоже можно разложить по базисным векторам: (причём единственным образом) и записать коэффициенты этого разложения (координаты) в скобках:

И всё бы было тихо-спокойно, но мирную жизнь векторов нарушает появление другого базиса…. Почему он появляется? Так нужно в ряде задач высшей математики. И не только математики.

В качестве демонстрационного базиса можно взять любую пару неколлинеарных векторов, но для удобства объяснений я рассмотрю следующий ортогональный базис :

Обратите внимание, что новый базис не является ортонормированным – длины его векторов отличны от единицы:

Наверное, все понимают происходящие события – когда меняется власть, то все подстраиваются под эту власть. Таким образом, наша задача состоит в том, чтобы найти разложения тех же самых векторов по НОВОМУ базису.

На иллюстрации хорошо видно готовые результаты:
, то есть – это координаты вектора «а» в базисе ;
и – есть координаты вектора «бэ» в новом базисе.

Примечание : заметьте, что «условные единицы» нового базиса в и раз больше единицы исходного базиса.

Но всё хорошо видно лишь потому, что я подобрал простые базисы и удобные векторы, и поэтому нам нужно изучить аналитический метод перехода от одного базиса к другому . Очевидно, что для осуществления такого перехода необходимо как-то связать векторы старого и нового базиса. Первое, что приходит в голову – это разложить векторы «пришлой власти» по базису :

…если вам не понятно, откуда берутся все эти разложения – срочно изучать/повторять «школьные» действия с векторами !

Коэффициенты разложений напрашивается записать в матрицу : . Или так: . …В верном направлении движемся, товарищи! И ту, и другую матрицу называют матрицей перехода от базиса к базису . По техническим причинам чаще встречается 2-й вариант – когда коэффициенты «укладывают» в столбцы.

Но от красивой записи толку мало, и сейчас нам предстоит разобраться, как связаны между собой координаты произвольного вектора в старом базисе с его соответствующими координатами в новом базисе .

! Штрихи здесь не имеют никакого отношения к производным !

Для решения нашей задачи подставим разложения во 2-е равенство, раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

Таким образом, с одной стороны, в нашем распоряжении есть старое разложение , но с другой стороны мы получили . Поскольку разложение вектора по базису единственно , то справедливы следующие равенства:

С помощью полученных соотношений можно найти СТАРЫЕ координаты, если известны новые.

Запишем формулы в виде простейшего матричного уравнения :

и выполним проверку, тестируя наши подопытные векторы «а» и «бэ»:

Что и требовалось проверить. Надеюсь, ни у кого не возникло проблем с матричным умножением . Хотя, в случае аварийных недоразумений всегда можно подставить новые координаты в равенства и получить те же самые результаты.

Всё хорошо, всё правильно, но нам-то нужно наоборот – из старых координат получить новые. Давайте присмотримся к нашему матричному уравнению …. В его середине находится матрица с координатами векторов , которые записаны в столбцы. И, обозначив , перепишем уравнение в компактном виде:

Для того чтобы выразить новые координаты через старые, умножим обе части на слева:

В результате ситуация разрешилась самым благоприятным образом:

Рассмотрим две аффинные системы координат плоскости: . Первую систему по нестарой памяти назовём старой , вторую – новой , и, как водится, запишем традиционное разложение:

Не углубляясь в книжные рассуждения, я сразу приведу готовые формулы, позволяющие узнать старые координаты произвольной точки плоскости, если известны её новые координаты :
, где – координаты точки в старой системе координат.

Данные равенства называются формулами преобразования аффинной системы координат , и в них легко просматривается знакомая матрица .

Вернёмся к нашим ненаглядным базисам =), на основе которых построим две системы координат: . В качестве начала новой системы координат я выберу точку :

Теперь «укладываем» коэффициенты разложений в «столбцы» формул :

Подопытные точки опять же – синие и пушистые =) Пожалуйста, наклоните голову на 45 градусов влево и убедитесь, что в «оранжевой» системе координат точка имеет координаты , а точка – координаты (коричневые пунктирные линии) . Вычислим координаты данных точек в исходном базисе :

В чём и требовалось убедиться.

Однако здесь опять всё «задом наперёд» – ведь в подавляющем большинстве случаев новые-то координаты нам как раз не известны. На очереди знакомая схема действий. Запишем формулы в виде матричного уравнения :

или, если компактнее:

И с помощью стандартных преобразований выражаем столбец новых координат:
, где – координаты точки в новом базисе . Данный столбец рассчитывается по формуле .

В нашем примере обратная матрица уже найдена в предыдущем параграфе и осталось как раз узнать этот столбец:

Пожалуйста, снова наклоните голову влево на и убедитесь, что в новой («оранжевой») системе координат точка обладает именно координатами .

Запишем рабочее матричное уравнение и рассчитаем координаты точек в новой системе координат:

Рассмотренные формулы работают для произвольных аффинных систем плоскости, однако в практических задачах особую важность имеет переход от прямоугольной декартовой системы координат к другой декартовой системе . Но перед тем, как приступить к изучению этого частного случая, я расскажу вам о том, о чём многие слышали, но стеснялись спросить:))

Ориентация плоскости

У плоскости может быть две ориентации. Левая. И правая. Первая ориентация задаётся левоориентированным базисом и, как следствие, левой системой координат, вторая – соответственно, правоориентированным базисом и правой системой.

По сложившейся традиции разбираться будем на пальцах: разверните ладони вверх и прижмите к ним все пальцы, кроме указательных и больших . Теперь совместите указательные пальцы . Большие пальцы при этом расположатся по разные стороны . Наоборот: совместите большие пальцы – тогда по разные от них стороны окажутся пальцы указательные . Это признак того, что символические базисы и порождаемые ими системы координат имеют разную ориентацию.

Если большой палец символизирует 1-й вектор базиса , а указательный палец – 2-й вектор базиса (ладони развёрнуты вверх) ,то базис правой руки принято считать правоориентированным , а базис левой руки – левоориентированным .

Так, например, наша «школьная» система координат является правой . Как в этом убедиться? Совместите большой палец правой руки с вектором (первым вектором базиса) . Тогда указательный палец будет смотреть в сторону вектора , и это признак того, что базис правоориентирован .

Вообще, рассматриваемое понятие весьма удачно характеризует осевая (зеркальная) симметрия , которая меняет ориентацию плоскости. Изобразим в прямоугольной системе брата нашего меньшего и отобразим его симметрично относительно оси ординат:

Совершенно понятно, что как ни перемещай, как ни крути изображения – совместить их не удастся. Это и есть эффект разной ориентации. Обратите внимание, что 1-й координатный вектор тоже подвергся отражению, и левая система задала левую ориентацию плоскости – координатная ось «развернулась» в противоположную сторону и положительные значения стали отсчитываться справа налево. И, кстати, ничто не мешает вести отсчёт именно так! Но тут нас вряд ли поймут – не зря же ориентацию назвали левой =) Хотя чисто «технически» она ничем не хуже.

Если Тузика отобразить симметрично относительно оси , то получим другую левую систему , в которой единичный вектор смотрит вниз.

Взаимную ориентацию двух базисов (а значит и взаимную ориентацию порожденных ими систем координат) можно установить аналитически: если определитель матрицы перехода от одного базиса к другому больше нуля, то базисы ориентированы одинаково (оба левые или оба правые) , в противном случае они имеют разную ориентацию. Так, в демонстрационном примере нашего урока , значит, базисы ориентированы одинаково. И поскольку «школьный» базис считается правым , то – тоже правый (впрочем, это и так очевидно). В Задаче 1 (пункт 2) определитель матрицы перехода отрицателен: , следовательно, базисы задают разную ориентацию трёхмерного пространства. С этим понятием можно ознакомиться в статье о векторном произведении векторов , ну а сейчас пришло время вернуться в основное русло урока:

Преобразование прямоугольных систем координат

На практике наиболее часто приходится осуществлять переход от одной правой декартовой системы координат к другой правой декартовой системе , и в этом случае общие формулы преобразования координат принимают следующий вид:

, где – угол между первыми координатными векторами (не важно, положительный или отрицательный) .

Данные формулы, в частности используются в ходе приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду . И, несмотря на то, что они выражают старые координаты точки через новые , равенства называют формулами перехода от старой системы координат к новой . Объяснение просто: если в какое-либо уравнение вместо «икса» и «игрека» подставить правые части этих равенств, то, собственно, именно такой переход и будет осуществлён.

В том случае если новая система координат построена на тех же базисных векторах: , то речь идёт лишь о параллельном переносе начала координат, и формулы донельзя упрощаются:

Пусть, например, – новое начало:

Тогда старые координаты точки легко получить из новых: ,
а новые – из старых:

Второй частный случай – это поворот осей с сохранением начала координат:

Так как новое начало координат совпадает со старым, то в формулах преобразования координат исчезают свободные члены:

Пурть в пространстве R имеются два базиса: старый e l , e 2 ,...e n и новый e l * , e 2 * ,...e n * . Любой вектор нового базиса можно представить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Переход от старого базиса к новому можно задать матрицей перехода

Отметим, что коэффициенты размножения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы, а не строки этой матрицы.

Матрица А - неособенная, так как в противном случае ее столбцы (а следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Следовательно, она имеет обратную матрицу А -1 .

Пусть вектор Х имеет координаты (х l , х 2 ,... х n) относительно старого базиса и координаты (х l * , х 2 * ,... х n *) относительно нового базиса, т.е. Х = x l e l + x 2 e 2 +...+ x n e n = x l * e l * + x 2 * e 2 * +...+ x n * e n * .

Подставим в это уравнение значения e l * , e 2 * ,...e n * из предыдущей системы:

x l e l + x 2 e 2 +...+ x n e n = x l * (a 11 e l + a 12 e 2 + … + a 1n e n) + x 2 * (a 21 e l + a 22 e 2 + … + + a 2n e n) +...+ x n * (a n1 e l + a n2 e 2 + … + a nn e n)

0 = e l (x l * a 11 + x 2 * a 21 + … + x n * a n1 - x l) + e 2 (x l * a 12 + x 2 * a 22 + … + x n * a n2 – x 2) + + … + e n (x l * a 1n + x 2 * a 2n + … + x n * a nn – x n)

В силу линейной независимости векторов e l , e 2 ,...e n все коэффициенты при них в последнем уравнении должны равняться нулю. Отсюда:

или в матричной форме

Умножим обе части на А -1 , получим:

Например, пусть в базисе e l , e 2 , e 3 заданы вектора а 1 = (1, 1, 0), а 2 = (1, -1, 1), а 3 = (-3, 5, -6) иb= (4; -4; 5). Показать, что вектора а l , а 2 , а 3 тоже образуют базис и выразить в этом базисе векторb.

Покажем, что вектора а l , а 2 , а 3 линейно независимы. Для этого убедимся в том, что ранг составленной из них матрицы равен трем:

Отметим, что исходная матрица представляет собой не что иное, как матрицу перехода А. В самом деле, связь между базисами e l , e 2 , e 3 и а l , а 2 , а 3 можно выразить системой:

Вычислим А -1 .

= 6 + 0 - 3 – 0 – 5 + 6 = 4

Т. е. в базисе а l , а 2 , а 3 векторb= (0,5; 2; -0,5).

Линейные операторы

Линейным оператором (преобразованием, отображением) n-мерного векторного пространства называется правилоY=f(X), по которому каждому вектору Х ставится в соответствие единственный векторY, причем сохраняются линейные операции над векторами, т.е. имеют место свойства:

1) f(X+Z) =f(X) +f(Z) - свойство аддитивности оператора;

2) f(X) =f(X) - свойство однородности оператора.

Можно доказать, что каждому линейному оператору соответствует квадратная матрица в данном базисе. Справедливо и обратное: всякой матрице n-го порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства.

Поэтому линейное преобразование можно определить по-другому: линейным оператором n-мерного векторного пространства, заданным квадратной матрицей А, называется преобразование, которое любому векторуX, записанному в виде матрицы-столбца, ставит в соответствие вектор А(Х) = А*Х =.

Матрицу А называют матрицей оператора в данном базисе, а ранг этой матрицы -рангом оператора .

Например, если линейный оператор задан матрицей , то отображениеYвектораX= (4, -3, 1) будет равно

Отметим, что единичная матрица задает тождественное преобразование (тождественный оператор ), поскольку, умножая ее на вектор, мы получаем тот же самый вектор.

Нулевая матрица определяется, как нулевой оператор , переводящий все векторы пространства в нулевые векторы.

Легко убедиться, что диагональная матрица, на диагонали которой стоит одно и то же число, задает оператор умножения вектора на это число.

Теорема . Матрицы А и А * одного и того же линейного оператора в базисах e l , e 2 ,...e n и e l * , e 2 * ,...e n * связаны соотношением А * = С -1 АС, где С - матрица перехода от старого базиса к новому.

Доказательство. Обозначим Yотображение вектораXв базисee l , e 2 ,...e n , а те же вектора в базисе e l * , e 2 * ,...e n * обозначим Х * и Y * . Так как С - матрица перехода, можно записать:

Умножим слева обе части первого равенства на матрицу А:

Так как АX = Y, получимY= АСХ * , т.е. CY * = АСХ * . Домножив обе части последнего равенства на С -1 , получим:

С -1 CY * = С -1 АСХ *

Y * = С -1 АСХ * .

Так как Y * = А * X * , А * = С -1 АС, что и требовалось доказать.

Например, пусть в базисе e l , e 2 матрица оператора А =. Найти матрицу этого оператора в базисе e l * = e l -2e 2 , e 2 * = 2e l + e 2 .

Для этого построим матрицу перехода С = и обратную ей матрицу С -1 .|C|= 5,,. Тогда

Пусть дана система векторов {а 1 , а 2 , …, а k } линейного пространства L и известны координаты этих векторов в некотором базисе Б:

а 1 = (а 11 , а 21 , …, а п 1),

а 2 = (а 12 , а 22 , …, а п 2),

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

а k = (а 1 k , а 2k , …, а пk ).

Рассмотрим матрицу этой системы векторов, т.е. матрицу, столбцы которой есть координаты векторов системы в заданном базисе:

Оказывается, с помощью ранга матрицы системы векторов можно сделать вывод о линейной зависимости или независимости этих векторов. А именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 3

Для того чтобы k векторов п -мерного линейного пространства были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен k .

Как уже отмечалось, координаты вектора зависят от выбранного базиса. Рассмотрим два базиса Б 1:{а 1 , а 2 , …, а п } и Б 2:{ } линейного пространства L. Так как векторы и есть векторы одного и того же линейного пространства L, то векторы базиса Б 2 можно разложить по базису Б 1 . Пусть эти разложения имеют вид

откуда

Определение 3

Матрица векторов базиса Б 2 в базисе Б 1 называется матрицей перехода от базиса Б 1 к базису Б 2 и обозначается или просто Т.

. (2.2)

Матрица перехода от одного базиса к другому есть невырожденная квадратная матрица.

Рассмотрим произвольный вектор х линейного пространств L. Пусть известны координаты этого вектора в базисе Б 1 и в базисе Б 2:

х , х .

Обозначим соответствующие координатные столбцы и . Тогда имеют место формулы преобразования координат :

И = × ,

или в матричной форме

Х = ×Х , Х = ×Х .

Лекции 17 Евклидово пространство

Рассмотрим линейное пространство L. Наряду с операциями сложения векторов и умножения вектора на число введем в этом пространстве еще одну операцию – операцию скалярного умножения.

Определение 1

Если каждой паре векторов а , b Î L по некоторому правилу поставить в соответствие действительное число, обозначаемое символом (а , b ) и удовлетворяющее условиям

1. (а , b ) = (b ,а ),

2. (а + с , b ) = (а , b ) + (с , b ),

3. (aа , b ) = a(а , b )

4. > 0 " а ¹ 0 и = 0 Û а = 0 ,

то это правило называется скалярным умножением , а число (а , b ) называется скалярным произведением вектора а на вектор b .

Число называют скалярным квадратом вектора а и обозначают , т. е. .

Условия 1) – 4) называют свойствами скалярного произведения : первое – свойством симметрии (коммутативности), второе и третье – свойствами линейности , четвертое – положительной определенности , а условие Û называют условием невырожденности скалярного произведения.

Определение 2

Евклидовым пространством называется действительное линейное пространство, на котором введена операция скалярного умножения векторов.

Евклидово пространство обозначают Е.

Свойства 1) – 4) скалярного произведения при этом называют аксиомами евклидова пространства.

Рассмотрим примеры евклидовых пространств.

· Пространства V 2 и V 3 являются евклидовыми пространствами, т.к. на них скалярное произведение, удовлетворяющее всем аксиомам, было определено следующим образом

· В линейном пространстве R п (x ) многочленов степени не выше п скалярное умножение векторов и можно ввести по формуле

Проверим выполнение свойств скалярного произведения для введенной операции.

2) Рассмотрим . Пусть , тогда

4) . Но сумма квадратов любых чисел всегда больше либо равна нулю, причем равна нулю тогда и только тогда, когда все эти числа равны нулю. Следовательно, , если многочлен не равен тождественно нулю (т.е. среди его коэффициентов есть отличные от нуля) и Û когда , что означает .

Таким образом, все свойства скалярного произведения выполняются, значит, равенство определяет скалярное умножение векторов пространства R п (x ), а само это пространство является евклидовым.

· В линейном пространстве R n скалярное умножение вектора на вектор может быть определено по формуле

Покажем, что в любом линейном пространстве может быть определено скалярное умножение, т.е. любое линейное пространство можно сделать евклидовым пространством. Для этого возьмем в пространстве L n произвольный базис {а 1 , а 2 , …, а п }. Пусть в этом базисе

а = a 1 а 1 + a 2 а 2 + …+ a п а п и b = b 1 а 1 + b 2 а 2 + …+ b п а п .

(а , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a п b п . (*)

Проверим выполнение свойств скалярного произведения:

1) (а , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a п b п = b 1 a 1 + b 2 a 2 + …+b п a п = (b , а ),

2) Если ,то

Тогда

(а + с , b ) =

= (а , b ) + (с , b ).

3. (lа , b ) = (la 1)b 1 + (la 2)b 2 + …+ (la п )b п = la 1 b 1 + la 2 b 2 + …+ la п b п =

L(a 1 b 1) + l(a 2 b 2) + …+ l(a п b п ) = l (а , b ).

4. " а ¹ 0 и тогда и только тогда, когда все a i = 0, т.е. а = 0 .

Следовательно, равенство (а , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a п b п определяет в L n скалярное произведение.

Заметим, что рассмотренное равенство (а , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …+ a п b п для различных базисов пространства дает различные значения скалярного произведения одних и тех же векторов а и b . Более того, скалярное произведение может быть определено и каким-либо принципиально другим способом. Поэтому будем называть задание скалярного произведения с помощью равенства (*) традиционным .

Определение 3

Нормой вектораа арифметическое значение квадратного корня из скалярного квадрата этого вектора.

Норму вектора обозначают ||а ||, или [а ], или | а | . Итак, то определению,

||а || .

Имеют место следующие свойства нормы:

1. ||а || = 0 Û а =0 .

2. ||aа ||= |a|.||а || "a ÎR.

3. |(а , b )| £ ||а ||.||b || (неравенство Коши - Буняковского).

4. ||а +b || £ ||а || + ||b || (неравенство треугольника).

В евклидовых пространствах V 2 и V 3 с традиционным образом заданным скалярным умножением норма вектора `а есть его длина

||`а || = |`а |.

В евклидовом пространстве R n со скалярным умножением норма вектора равна

|| a || = .

Определение 4

Вектор а евклидова пространства называется нормированным (или единичным ), если его норма равна единице: || a || = 1.

Если а ¹ 0 , то векторы и – единичные векторы. Нахождение для заданного вектора а соответствующего ему единичного вектора (или ) называется нормированием вектора а .

Из неравенства Коши – Буняковского следует, что

Откуда ,

поэтому отношение можно рассматривать как косинус некоторого угла.

Определение 5

Угол j (0£ j углом между векторами а и b евклидова пространства.

Таким образом, угол между векторами а и b евклидова пространства определяется по формуле

j = = arccos .

Заметим, что введение скалярного умножения в линейном пространстве дает возможность производить в этом пространстве «измерения», подобные тем, которые возможны в пространстве геометрических векторов, а именно измерение «длин» векторов и «углов» между векторами, при этом выбор формы задания скалярного умножения аналогичен выбору «масштаба» для таких измерений. Это позволяет распространить на произвольные линейные пространства методы геометрии, связанные с измерениями, тем самым значительно усилив средства исследования математических объектов, встречающихся в алгебре и анализе.

Определение 6

Векторы а и b евклидова пространства называются ортогональными , если их скалярное произведение равно нулю:

Заметим, что если хотя бы один из векторов нулевой, то равенство выполняется. Действительно, т.к. нулевой вектор можно представить в виде 0 = 0.а , то (0 , b ) = (0.а , b ) = 0.(а , b ) = 0. Следовательно, нулевой вектор ортогонален к любому вектору евклидова пространства.

Определение 7

Система векторов а 1 , а 2 , …, а т евклидова пространства называется ортогональной , если эти векторы попарно ортогональны, т.е.

(а i , а j ) = 0 "i ¹ j , i , j =1,2,…,m .

Система векторов а 1 , а 2 , …, а т евклидова пространства называется ортонормированной (или ортонормальной ), если она ортогональная и каждый ее вектор – нормированный, т.е.

(а i , а j ) = , i , j = 1,2, …, m .

Ортогональная система векторов обладает свойствами:

1. Если – ортогональная система ненулевых векторов, то система полученная нормированием каждого из векторов данной системы, также является ортогональной.

2. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Если всякая ортогональная, а значит, и ортонормированная система векторов линейно независима, то может ли такая система образовывать базис заданного пространства? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 3

Во всяком п -мерном евклидовом пространстве ( ) существует ортонормированный базис.

Доказательство

Доказать теорему – значит найти этот базис. Поэтому поступим следующим образом.

Рассмотрим в заданном евклидовом пространстве произвольный базис {а 1 , а 2 , …, а n }, по нему построим ортогональный базис {g 1 , g 2 , …, g n }, а затем нормируем векторы этого базиса, т.е. положим . Тогда система векторов {е 1 , е 2 ,…, е n } образует ортонормированный базис.