Если рассматривать некоторое количество газа, то эмпирически получено, что давление (), объем () и температура () полностью характеризуют эту массу газа как термодинамическую систему, если данный газ можно представить в виде совокупности нейтральных молекул, не имеющих дипольных моментов. В состоянии термодинамического равновесия связаны между собой уравнением состояния.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Уравнение состояния газа в виде:
(где — газа; — молярная масса газа; Дж/Моль К — универсальная газовая постоянная; температура воздуха в Кельвинах: ) было впервые получено Менделеевым.
Его легко получить из уравнения Клапейpона:
учитывая, что в соответствии с законом Авогадро один моль любого газа при нормальных условиях занимает объем л. При этом получается, что:
Уравнение (1) называют уравнением Менделеева-Клапейpона. Иногда его записывают как:
где — количество вещества (число молей газа).
Уравнение Менделеева-Клапейpона получено на основе установленных эмпирически газовых законов. Так же как и газовые законы, уравнение Менделеева-Клапейpона является приближенным. Для разных газов границы применимости данного уравнения различны. Например, для гелия уравнение (1) справедливо в более широком диапазоне температур, чем для углекислого газа. Абсолютно точным уравнение Менделеева-Клапейpона является для идеального газа. Особенностью которого, является то, что его внутренняя энергия пропорциональна абсолютной температуре и не зависит от объема, который газ занимает.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Температуру воздуха в комнате повысили от до Как при таких условиях изменится плотность воздуха в помещении ()? Тепловым расширением стен пренебречь. |
| Решение | Если тепловым расширением стен можно пренебречь, то объем комнаты не изменяется. В том, случае, если воздух нагревается при постоянном объеме давление должно расти с увеличением температуры, при этом его плотность не изменяется. Однако комната не является герметичной, поэтому объем газа (воздуха) в помещении постоянным считать нельзя. Постоянным в нашем случае является давление, которое равно наружному давлению атмосферы. При увеличении температуры уменьшается масса воздуха в комнате, так как газ выходит через щели наружу.
Вычислить плотность воздуха, можно используя уравнение Менделеева-Клапейpона: Разделим правую и левую части уравнения (1.1) на V, имеем: |
В этом разделе мы знакомимся с уравнением состояния идеального газа.
Эксперименты показали, что при условиях не слишком отличающихся от нормальных (температура порядка сотен кельвинов, давление порядка одной атмосферы) свойства реальных газов близки к свойствам идеального газа.
Пример. На примере водяного пара покажем, что при обычных условиях свойства реальных газов близки к свойствам идеального. По таблице Менделеева можно определить массу моля Н 2 0 :
Плотность воды в жидком состоянии
Отсюда можно найти объем одного моля воды:
Один моль любого вещества содержит одно и то же число молекул (число Авогадро):
Получаем отсюда объем V 1 , приходящийся на одну молекулу воды:
В конденсированном состоянии молекулы располагаются вплотную друг к другу, то есть в сущности V 1 есть объем молекулы воды, откуда следует оценка ее линейного размера (диаметра):
С другой стороны, известно, что объем V m одного моля любого газа при нормальных условиях равен
Поэтому на одну молекулу водяного пара приходится объем
Это значит, что газ можно нарезать мысленно на кубики с длиной ребра
и в каждом таком кубике окажется одна молекула. Иными словами, L - среднее расстояние между молекулами водяного пара. Мы видим, что L на порядок превосходит размер D молекулы. Аналогичные оценки получаются и для других газов, так что с хорошей точностью можно считать, что молекулы не взаимодействуют друг с другом, и при нормальных условиях газ идеален.
Как уже говорилось, уравнение состояния, имеющее вид, позволяет выразить один термодинамический параметр через два других. Конкретный вид этого уравнения зависит от того, какое вещество и в каком агрегатном состоянии рассматривается. Уравнение состояния идеального газа объединяет ряд экспериментально установленных частных газовых законов. Каждый из них описывает поведение газа при условии, что изменяются лишь два параметра.
1. Закон Бойля - Мариотта . Описывает процесс в идеальном газе при постоянной температуре.
|
Изотермический процесс - это термодинамический процесс, протекающий при постоянной температуре. |
Закон Бойля - Мариотта гласит:
|
Для данной массы газа при постоянной температуре Т = const произведение давления газа на занимаемый им объем является постоянной величиной |
Графически изотермический процесс в различных координатах изображен на рис. 1.7.
Рис.1.7. Изотермический процесс в идеальном газе: 1 - в координатах p – V ; 2 - в координатах p - T ; 3 - в координатах T – V
Показанные на рис. 1.7-1 кривые представляют собой гиперболы
располагающиеся тем выше, чем выше температура газа.
Экспериментальное исследование закона Бойля - Мариотта можно выполнить с помощью установки, показанной на рис. 1.8. В цилиндре, находящемся при постоянной температуре (что видно из показаний термометра), при перемещении поршня изменяется объем газа. Давление газа измеряется с помощью манометра. Результаты измерений давления и объема газа представляются на диаграмме p = p (V ) .
Рис. 1.8. Экспериментальное изучение изотермического процесса в газе
2. Закон Гей-Люссака. Описывает тепловое расширение идеального газа при постоянном давлении.
Закон Гей-Люссака гласит:
|
Объем данной массы определенного газа при постоянном давлении пропорционален его абсолютной температуре |
Графически изобарный процесс в различных координатах показан на рис. 1.9.
Рис. 1.9. Изобарный процесс в газе: 1 - в координатах p – V; 2 - в координатах V – T; 3 - в координатах P – T
Экспериментальное изучение закона Гей-Люссака можно выполнить с помощью установки, показанной на рис. 1.10. В цилиндре газ нагревается с помощью горелки. Давление газа в процессе нагревания остается неизменным, что видно из показаний манометра. Температура газа измеряется с помощью термометра. Результаты измерений давления и температуры газа представляются на диаграмме V = V(Т) .
Рис. 1.10. Экспериментальное изучение изобарного процесса в газе
3. Закон Шарля. Описывает изменение давления идеального газа с ростом температуры при постоянном объеме.
|
Изохорный процесс - это процесс, протекающий при постоянном объеме. |
Закон Шарля гласит:
|
Давление данной массы определенного газа при постоянном объеме пропорционально термодинамической температуре |
Графически изохорный процесс в различных координатах показан на рис. 1.11.
Рис.1.11. Изохорный процесс в газе: 1 - в координатах p – V; 2 - в координатах p – T; 3 - в координатах V – T
Экспериментальное исследование закона Шарля можно выполнить с помощью установки, показанной на рис. 1.12. В цилиндре газ занимает постоянный объем (поршень неподвижен). При нагревании давление газа увеличивается, а при охлаждении уменьшается. Величина давления измеряется с помощью манометра, а температура газа - с помощью термометра. Результаты измерений давления и температуры газа представляются на диаграмме p=p(Т) .
Рис. 1.12. Экспериментальное изучение изохорного процесса в газе
Если объединить рассмотренные частные газовые законы, то получим уравнение состояния идеального газа (для одного моля)
|
(1.5) |
в которое входит универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль· К). При одних и тех же значениях объема и температуры системы давление газа пропорционально числу молей вещества
Поэтому для произвольной массы газа m уравнение состояния идеального газа (1.6) примет вид
|
(1.6) |
Это уравнение называют уравнением Клапейрона - Менделеева.
Дополнительная информация:
http://www.plib.ru/library/book/14222.html - Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике, Наука, 1977 г. – стр. 162–166, - сводная таблица свойств всевозможных изопроцессов с идеальным газом;
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/08/gazovye_zakony_i_mehanicheskoe.htm - журнал Квант, 1990 г. № 8, стр. 73–76, Д. Александров, Газовые законы и механическое равновесие;
http://www.alleng.ru/d/phys/phys62.htm - Тульчинский М.Е. Качественные задачи по физике, Изд. Просвещение, 1972 г.; задачи № 489, 522, 551 на законы идеального газа;
http://marklv.narod.ru/mkt/str4.htm - школьный урок с картинками по модели идеального газа;
http://marklv.narod.ru/mkt/str7.htm - школьный урок с картинками по изопроцессам с идеальным газом.
Как уже указывалось, состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением р, объемом V и температурой Т. Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравнением состояния, которое в общем виде дается выражением
где каждая из переменных является функцией двух других.
Французский физик и инженер Б. Клапейрон (1799-1864) вывел уравнение состояния идеального газа, объединив законы Бойля - Мариотта и Гей-Люссака. Пусть некоторая масса газа занимает объем V 1 , имеет давление p 1 и находится при температуре T 1 . Эта же масса газа в другом произвольном состоянии характеризуется параметрами р 2 , V 2 , Т 2 (рис. 63). Переход из состояния 1 в состояние 2 осуществляется в виде двух процессов: 1) изотермического (изотерма 1 - 1¢, 2) изохорного (изохора 1¢ - 2).
В соответствии с законами Бойля - Мариотта (41.1) и Гей-Люссака (41.5) запишем:
Исключив из уравнений (42.1) и (42.2) p¢ 1 , получим
Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массы газа величина pV/T остается постоянной, т. е.
Выражение (42.3) является уравнением Клапейрона, в котором В - газовая постоянная, различная для разных газов.
Русский ученый Д. И. Менделеев (1834-1907) объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (42.3) к одному молю, использовав молярный объем V m . Согласно закону Авогадро, при одинаковых р и Т моли всех газов занимают одинаковый молярный объем V m , поэтому постоянная B будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называется молярной газовой постоянной. Уравнению
удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа, называемым также уравнением Клапейрона - Менделеева.
Числовое значение молярной газовой постоянной определим из формулы (42.4), полагая, что моль газа находится при нормальных условиях (р 0 = 1,013×10 5 Па, T 0 = 273,15 К, V m = 22,41×10 -3 м э /моль): R = 8,31 Дж/(моль×К).
От уравнения (42.4) для моля газа можно перейти к уравнению Клапейрона - Менделеева для произвольной массы газа. Если при некоторых заданных давлении и температуре один моль газа занимает молярный объем V m , то при тех же условиях масса m газа займет объем V= (т/М)× V m , где М - молярная масса (масса одного моля вещества). Единица молярной массы - килограмм на моль (кг/моль). Уравнение Клапейрона - Менделеева для массы т газа
где v=m/M - количество вещества.
Часто пользуются несколько иной формой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана:
Исходя из этого уравнение состояния (42.4) запишем в виде
где N A /V m = n- концентрация молекул (число молекул в единице объема). Таким образом, из уравнения
следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число молекул, содержащихся в 1 м 3 газа при нормальных условиях, называется числом Лошмндта*:
Основное уравнение
Молекулярно-кинетической теории
Идеальных газов
Для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассмотрим одно атомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку DS (рис. 64) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс m 0 v - (- т 0 ) = 2т 0 v, где m 0 - масса молекулы, v - ее скорость. За время Dt площадки DS достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием DS и высотой vDt (рис. 64). Число этих молекул равно nDSvDt (n- концентрация молекул).
Необходимо, однако, учитывать, что реально молекулы движутся к площадке DS под разными углами и имеют различные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина молекул - 1/6 - движется вдоль данного направления в одну сторону, половина - в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку DS будет
l / 6 nDSvDt. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс
Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,
Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями v 1 ,v 2 , ..., v n , то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость
характеризующую всю совокупность молекул таза. Уравнение (43.1) с учетом (43.2) примет вид
Выражение (43.3) называется основным уравнением молекулярно-кинетнческой теории идеальных газов. Точный расчет с учетом движения молекул по всевозможным направлениям дает ту же формулу.
Учитывая, что n=N/V, получим
где Е - суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.
Так как масса газа m=Nm 0 , то уравнение (43.4) можно переписать в виде
Для одного моля газа т = М (М - молярная масса), поэтому
где F m - молярный объем. С другой стороны, по уравнению Клапейрона - Менделеева, pV m = RT. Таким образом,
Так как M = m 0 N A - масса одной молекулы, а N А - постоянная Авогадро, то из уравнения (43.6) следует, что
где k=R/N A - постоянная Больцмана. Отсюда найдем, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с, водорода - 1900 м/с. При температуре жидкого гелия те же скорости будут соответственно 40 и 160 м/с.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа
(использовали формулы (43.5) и (43.7)) пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее. Из этого уравнения следует, что при Т=0
Как уже указывалось, состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением р, объемом V и температурой Т.
Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравнением состояния, которое в общем виде дается выражением
f (р, V, Т) =0,
где каждая из переменных является функцией двух других.
Французский физик и инженер Б. Клапейрон (1799-1864) вывел уравнение состояния идеального газа, объединив законы Бойля - Мариотта и Гей-Люссака. Пусть некоторая масса газа занимает объем V 1 , имеет давление р 1 и находится при температуре Т 1 . Эта же масса газа в другом произвольном состоянии характеризуется параметрами р 2 , V 2 , Т 2 (рис.63). Переход из состояния 1 в состояние 2 осуществляется в виде двух процессов: 1) изотермического (изотерма 1 -1 "), 2) изохорного (изохора 1 "-2).
В соответствии с законами Бойля - Мариотта (41.1) и Гей-Люссака (41.5) запишем:
p 1 V 1 =p " 1 V 2 , (42.1)
p " 1 /p " 2 =T 1 /T 2 . (42.2)
Исключив из уравнений (42.1) и (42.2) р" 1 , получим
p 1 V 1 /T 1 =p 2 V 2 / Т 2 .
Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массы газа
величина pV/T остается постоянной,
pV/T =B=const. (42.3)
Выражение (42.3) является уравнением Клапейрона, в котором В - газовая постоянная, различная для разных газов.
Русский ученый Д. И. Менделеев (1834-1907) объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (42.3) к одному молю, использовав молярный объем V т . Согласно закону Авогадро, при одинаковых р и Т моли всех газов занимают одинаковый молярный объем V m , поэтому постоянная В будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называется молярной газовой постоянной. Уравнению
pV m = RT (42.4)
удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа, называемым также уравнением Клапейрона - Менделеева.
Числовое значение молярной газовой постоянной определим из формулы (42.4), полагая, что моль газа находится при нормальных условиях (р 0 = 1,013 10 5 Па, T 0 =273,15 K:, V m = 22,41 10 -3 м 3 /моль): R = 8,31 Дж/(моль К).
От уравнения (42.4) для моля газа можно перейти к уравнению Клапейрона - Менделеева для произвольной массы газа. Если при некоторых заданных давлений и температуре один моль газа занимает молярный объем l/m, то при тех же условиях масса т газа займет объем V = (m/M) V m , где М - молярная масса (масса одного моля вещества). Единица молярной массы - килограмм на моль (кг/моль). Уравнение Клапейрона - Менделеева для массы т газа
где v = m/M - количество вещества.
Часто пользуются несколько иной формой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана:
k=R/N А =1,38 10 -2 3 Дж/К.
Исходя из этого уравнение состояния (42.4) запишем в виде
p = RT/V m = kN A T/V m = nkT,
где N A /V m = n -концентрация молекул (число молекул в единице объема). Таким образом, из уравнения
p = nkT (42.6)
следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число молекул, содержащихся в 1 м 3 газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта :
N L = P0 /(kT 0 ) = 2,68 10 25 м -3 .
Аннотация: традиционное изложение темы, дополненное демонстрацией на компьютерной модели.
Из трех агрегатных состояний вещества наиболее простым является газообразное состояние. В газах силы, действующие между молекулами, малы и при определенных условиях ими можно пренебречь.
Газ называется идеальным , если:
Можно пренебречь размерами молекул, т.е. можно считать молекулы материальными точками;
Можно пренебречь силами взаимодействия между молекулами (потенциальная энергия взаимодействия молекул много меньше их кинетической энергии);
Удары молекул друг с другом и со стенками сосуда можно считать абсолютно упругими.
Реальные газы близки по свойствам к идеальному при:
Условиях, близких к нормальным условиям (t = 0 0 C, p = 1.03·10 5 Па);
При высоких температурах.
Законы, которым подчиняется поведение идеальных газов, были открыты опытным путем достаточно давно. Так, закон Бойля - Мариотта установлен еще в 17 веке. Дадим формулировки этих законов.
Закон Бойля - Мариотта. Пусть газ находится в условиях, когда его температура поддерживается постоянной (такие условия называются изотермическими ).Тогда для данной массы газа произведение давления на объем есть величина постоянная:
Эту формулу называют уравнением изотермы . Графически зависимость p от V для различных температур изображена на рисунке.
Свойство тела изменять давление при изменении объема называется сжимаемостью . Если изменение объема происходит при T=const, то сжимаемость характеризуется изотермическим коэффициентом сжимаемости который определяется как относительное изменение объема, вызывающее изменение давления на единицу.
Для идеального газа легко вычислить его значение. Из уравнения изотермы получаем:
Знак минус указывает на то, что при увеличении объема давление уменьшается. Т.о., изотермический коэффициент сжимаемости идеального газа равен обратной величине его давления. С ростом давления он уменьшается, т.к. чем больше давление, тем меньше у газа возможностей для дальнейшего сжатия.
Закон Гей - Люссака. Пусть газ находится в условиях, когда постоянным поддерживается его давление (такие условия называются изобарическими ). Их можно осуществить, если поместить газ в цилиндр, закрытый подвижным поршнем. Тогда изменение температуры газа приведет к перемещению поршня и изменению объема. Давление же газа останется постоянным. При этом для данной массы газа его объем будет пропорционален температуре:
где V 0 - объем при температуре t = 0 0 C, - коэффициент объемного расширения газов. Его можно представить в виде, аналогичном коэффициенту сжимаемости:
Графически зависимость V от T для различных давлений изображена на рисунке.
Перейдя от температуры в шкале Цельсия к абсолютной температуре , закон Гей - Люссака можно записать в виде:
Закон Шарля. Если газ находится в условиях, когда постоянным остается его объем (изохорические условия), то для данной массы газа давление будет пропорционально температуре:
где р 0 - давление при температуре t = 0 0 C, - коэффициент давления . Он показывает относительное увеличение давления газа при нагревании его на 1 0:
Закон Шарля также можно записать в виде:
Закон Авогадро: один моль любого идеального газа при одинаковых температуре и давлении занимает одинаковый объем. При нормальных условиях (t = 0 0 C, p = 1.03·10 5 Па) этот объем равен м -3 /моль.
Число частиц, содержащихся в 1 моле различных веществ, наз. постоянная Авогадро :
Легко вычислить и число n 0 частиц в 1 м 3 при нормальных условиях:
Это число называется числом Лошмидта .
Закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений входящих в нее газов, т.е.
где - парциальные давления - давления, которые бы оказывали компоненты смеси, если бы каждый из них занимал объем, равный объему смеси при той же температуре.
Уравнение Клапейрона - Менделеева. Из законов идеального газа можно получить уравнение состояния , связывающее Т, р и V идеального газа в состоянии равновесия. Это уравнение впервые было получено французским физиком и инженером Б. Клапейроном и российским учеными Д.И. Менделеевым, поэтому носит их имя.
Пусть некоторая масса газа занимает объем V 1 , имеет давление p 1 и находится при температуре Т 1 . Эта же масса газа в другом состоянии характеризуется параметрами V 2 , p 2 , Т 2 (см. рисунок). Переход из состояния 1 в состояние 2 осуществляется в виде двух процессов: изотермического (1 - 1") и изохорического (1" - 2).
Для данных процессов можно записать законы Бойля - Мариотта и Гей - Люссака:
Исключив из уравнений p 1 " , получим
Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то последнее уравнение можно записать в виде:
Это уравнение называется уравнением Клапейрона , в котором В - постоянная, различная для различных масс газов.
Менделеев объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро. Согласно закону Авогадро, 1 моль любого идеального газа при одинаковых p и T занимает один и тот же объем V m , поэтому постоянная В будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называется универсальной газовой постоянной . Тогда
Это уравнение и является уравнением состояния идеального газа , которое также носит название уравнение Клапейрона - Менделеева .
Числовое значение универсальной газовой постоянной можно определить, подставив в уравнение Клапейрона - Менделеева значения p, T и V m при нормальных условиях:
Уравнение Клапейрона - Менделеева можно записать для любой массы газа. Для этого вспомним, что объем газа массы m связан с объемом одного моля формулой V=(m/M)V m , где М - молярная масса газа . Тогда уравнение Клапейрона - Менделеева для газа массой m будет иметь вид:
где - число молей.
Часто уравнение состояния идеального газа записывают через постоянную Больцмана:
Исходя из этого, уравнение состояния можно представить как
где - концентрация молекул. Из последнего уравнения видно, что давление идеального газа прямо пропорционально его температуре и концентрации молекул.
Небольшая демонстрация законов идеального газа. После нажатие кнопки "Начнем" Вы увидите комментарии ведущего к происходящему на экране (черный цвет) и описание действий компьютера после нажатия Вами кнопки "Далее" (коричневый цвет). Когда компьютер "занят" (т.е. идет опыт) эта кнопка не активна. Переходите к следующему кадру, лишь осмыслив результат, полученный в текущем опыте. (Если Ваше восприятие не совпадает с комментариями ведущего, напишите!)
Вы можете убедиться в справедливости законов идеального газа на имеющейся
Компот из вишни на зиму в банках (8 рецептов)
Компот из облепихи: вкусный защитник здоровья вашего ребенка Можно ли делать компот из облепихи
К чему снится салат из овощей: разбираемся в сновидении
Мифы о сотворении мира египетская мифология
Выручка в зарубежных странах