Конспект урока по математике " «Двугранный угол». Двугранный угол. Полный иллюстрированный гид (2019)

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Понятие двугранного угла

Для введения понятия двугранного угла, для начала вспомним одну из аксиом стереометрии.

Любую плоскость можно разделить на две полуплоскости прямой $a$, лежащей в этой плоскости. При этом, точки, лежащие в одной полуплоскости находятся с одной стороны от прямой $a$, а точки, лежащие в разных полуплоскостях -- по разные стороны от прямой $a$ (рис. 1).

Рисунок 1.

На этой аксиоме основан принцип построение двугранного угла.

Определение 1

Фигура называется двугранным углом , если она состоит из прямой и двух полуплоскостей этой прямой, не принадлежащих одной плоскости.

При этом полуплоскости двугранного угла называются гранями , а прямая, разделяющая полуплоскости -- ребром двугранного угла (рис. 1).

Рисунок 2. Двугранный угол

Градусная мера двугранного угла

Определение 2

Выберем на ребре произвольную точку $A$. Угол между двумя прямыми, лежащими в разных полуплоскостях, перпендикулярных ребру и пересекающихся в точке $A$ называется линейным углом двугранного угла (рис. 3).

Рисунок 3.

Очевидно, что каждый двугранный угол имеет бесконечное число линейных углов.

Теорема 1

Все линейные углы одного двугранного угла равняются между собой.

Доказательство.

Рассмотрим два линейных угла $AOB$ и $A_1{OB}_1$ (рис. 4).

Рисунок 4.

Так как лучи $OA$ и ${OA}_1$ лежат в одной полуплоскости $\alpha $ и перпендикулярны одной прямой, то они являются сонаправленными. Так как лучи $OB$ и ${OB}_1$ лежат в одной полуплоскости $\beta $ и перпендикулярны одной прямой, то они являются сонаправленными. Следовательно

\[\angle AOB=\angle A_1{OB}_1\]

В силу произвольности выборов линейных углов. Все линейные углы одного двугранного угла равны между собой.

Теорема доказана.

Определение 3

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера линейного угла двугранного угла.

Примеры задач

Пример 1

Пусть нам даны две неперпендикулярные плоскости $\alpha $ и $\beta $ которые пересекаются по прямой $m$. Точка $A$ принадлежит плоскости $\beta $. $AB$ -- перпендикуляр к прямой $m$. $AC$ перпендикуляр к плоскости $\alpha $ (точка $C$ принадлежит $\alpha $). Доказать, что угол $ABC$ является линейным углом двугранного угла.

Доказательство.

Изобразим рисунок по условию задачи (рис. 5).

Рисунок 5.

Для доказательства вспомним следующую теорему

Теорема 2: Прямая, проходящая через основание наклонной, перпендикулярно ей, перпендикулярна её проекции.

Так как $AC$ - перпендикуляр к плоскости $\alpha $, то точка $C$ - проекция точки $A$ на плоскость $\alpha $. Следовательно, $BC$ -- проекция наклонной $AB$. По теореме 2, $BC$ перпендикулярна ребру двугранного угла.

Тогда, угол $ABC$ удовлетворяет всем требованиям определения линейного угла двугранного угла.

Пример 2

Двугранный угол равен $30^\circ$. На одной из граней лежит точка $A$, которая удалена от другой грани на расстояние $4$ см. Найти расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла.

Решение.

Будем рассматривать рисунок 5.

По условию, имеем $AC=4\ см$.

По определению градусной меры двугранного угла, имеем, что угол $ABC$ равен $30^\circ$.

Треугольник $ABC$ является прямоугольным треугольником. По определению синуса острого угла

\[\frac{AC}{AB}=sin{30}^0\] \[\frac{5}{AB}=\frac{1}{2}\] \

«Двугранный угол» - Найдите расстояние от точки В до плоскости. Угол С острый. Треугольник АВС – тупоугольный. Угол С тупой. Расстояние от точки до прямой. В тетраэдре DАВС все ребра равны. Угол между наклонными. Расстояние между основаниями наклонных. Линейные углы двугранного угла равны. Алгоритм построения линейного угла.

«Двугранный угол геометрия» - угол РСВ - линейный для двугранного угла с ребром АС. Найти (увидеть) ребро и грани двугранного угла. Модель может быть как объемной, так и складной. Сечение двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру. Грани. прямая СР перпендикулярна ребру СА (по теореме о трех перпендикулярах). угол РКВ - линейный для двугранного угла с РСАВ.

«Трёхгранный угол» - Признаки равенства трехгранных углов. Дано: Оabc – трехгранный угол; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Урок 6. Следствия. 1) Для вычисления угла между прямой и плоскостью применима формула: Формула трех косинусов. . Дан трехгранный угол Оabc. Трехгранный угол. Теорема. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине меньше 120?.

«Трёхгранные и многогранные углы» - Трехгранные углы додекаэдра. Трехгранные и четырехгранные углы ромбододекаэдра. Четырехгранные углы октаэдра. Трехгранные углы тетраэдра. Измерение многогранных углов. Задача. Многогранные углы. Пятигранные углы икосаэдра. Вертикальные многогранные углы. Трехгранный угол пирамиды. Пусть SA1…An – выпуклый n-гранный угол.

«Угол между прямой и плоскостью» - В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AC1 и плоскостью ADE1. В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AA1 и плоскостью ACE1. Угол между прямой и плоскостью. В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ADE1.

«Многогранный угол» - Выпуклые многогранные углы. Многогранные углы. В зависимости от числа граней многогранные углы бывают трехгранными, четырехгранными, пятигранными и т. д. В) икосаэдр. Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°. Следовательно, ? ASB + ? BSC + ? ASC < 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

Всего в теме 9 презентаций

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока: ввести понятие двугранного угла и его линейного угла;

рассмотреть задачи на применение этих понятий;

сформировать конструктивный навык нахождения угла между плоскостями;

рассмотреть задачи на применение этих понятий.

Ход урока

I. Организационный момент.

Сообщить тему урока, сформировать цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся (слайд 2, 3).

1. Подготовка к изучению нового материала.

Что называется углом на плоскости?

Что называется углом между прямыми в пространстве?

Что называется углом между прямой и плоскостью?

Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах

III. Изучение нового материала.

• Понятие двугранного угла.

Фигура, образованная двумя полуплоскостями , проходящими через прямую МN, называется двугранным углом (слайд 4).

Полуплоскости - грани, прямая МN – ребро двугранного угла.

Какие предметы в обыденной жизни имеют форму двугранного угла? (Cлайд 5)

• Угол между плоскостями АСН и СНD – это двугранный угол АСНD, где СН – ребро. Точки А и D лежат на гранях этого угла. Угол AFD – линейный угол двугранного угла АCHD (слайд 6).

• Алгоритм построения линейного угла (слайд 7).

1 способ. На ребре взять любую точку О и провести перпендикуляры в эту точку (РО DE, KO DE) получили угол РОК - линейный.

2 способ. В одной полуплоскости взять точку К и опустить из нее два перпендикуляра на другую полуплоскость и ребро (КО и КР), тогда по теореме обратной ТТП РОDE

• Все линейные углы двугранного угла равны (слайд 8). Доказательство: лучи ОА и О 1 А 1 сонаправлены, лучи ОВ и О 1 В 1 тоже сонаправлены, углы ВОА и В 1 О 1 А 1 равны как углы с сонаправлеными сторонами.

• Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла (слайд 9).

IV. Закрепление изученного материала.

• Решение задач (устно по готовым чертежам). (Слайды10-12)

1. РАВС – пирамида; угол АСВ равен 90 о, прямая РВ перпендикулярна плоскости АВС. Доказать, что угол РСВ – линейный угол двугранного угла с

2. РАВС - пирамида; АВ = ВС, D – середина отрезка АС, прямая РВ перпендикулярна плоскости АВС. Доказать, что угол PDB – линейный угол двугранного угла с ребром АС.

3. PABCD – пирамида; прямая РВ перпендикулярна плоскости АВС, ВК перпендикулярна DC. Доказать, что угол РКВ – линейный угол двугранного угла с ребром СD.

• Задачи на построение линейного угла (слайды 13-14).

1. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС, если в пирамиде РАВС грань АВС – правильный треугольник, О – точка пересечения медиан, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС

2. Дан ромб АВСD.Прямая РС перпендикулярна плоскости АВСD.

Построить линейный угол двугранного угла с ребром ВD и линейный угол двугранного угла с ребром АD.

• Вычислительная задача. (Слайд 15)

В параллелограмме АВСD угол АDС равен 120 0 , АD = 8 см,

DС= 6 см, прямая РС перпендикулярна плоскости АВС, РС= 9 см.

Найти величину двугранного угла с ребром АD и площадь параллелограмма.

V. Домашнее задание (слайд16).

П. 22, № 168, 171.

Используемая литература:

1. Геометрия 10-11 Л.С.Атанасян.
2. Система задач по теме “Двугранные углы” М.В.Севостьянова (г.Мурманск), журнал Математика в школе 198… г.