Память человечества не сохранила, не донесла до нас имя изобретателя колеса или гончарного круга. Это и не удивительно: более 10 тыс. лет прошло с тех пор, как люди всерьёз занялись земледелием, скотоводством и производством простейших товаров. Назвать же имя гения впервые задавшегося вопросом «сколько?», тем более невозможно.

В каменном веке, когда люди собирали плоды, ловили рыбу и охотились на животных, потребность в счете возникла так же естественно, как и потребность в добывании огня. Об этом свидетельствуют находки археологов на стоянках первобытных людей. Например, в 1937 году в Моравии на месте одной из таких стоянок найдена волчья кость с 55 глубокими зарубками. Позже в других местах ученые находили столь же древние каменные предметы с точками и черточками, сгруппированными по 3 или по 5. Это были древнейшие системы записи чисел – системы счисления.

Системы счисления с древнейших времён до наших дней.

Древнейшая система записи чисел называется единичной, т. к. любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Группировки и вспомогательные значки используются лишь для облегчения восприятия больших чисел.

Единичная система счисления первобытных людей, рисовавших палочки на стенах пещеры или делавших зарубки на костях животных и ветках деревьев не забыта и в наши дни. Как узнать, на каком курсе учится курсант военного училища? Сосчитайте сколько полосок нашито на рукаве его мундира. О количестве самолетов противника, сбитых асом в воздушных боях, говорит число звездочек, нарисованных на фюзеляже его самолета.

Позже появилось много различных числовых систем, вот наиболее известные из них.

Около 3-2,5 тысяч лет до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему. В ней ключевые числа: 1, 10, 100 и т. д. – изображались специальными значками-иероглифами. Египтяне высекали их на стенах погребальных камер, писали тростниковым пером на свитках папируса.

Среди множества иероглифических систем счисления, которые существовали в разные времена у разных народов, только одна используется до сих пор. Ее цифры знакомы всем, хотя им уже около 2,5 тысячелетий. Эти цифры встречаются на циферблатах часов, фронтонах старинных и современных зданий, памятниках, страницах книг. Ну конечно же, речь идет о римской системе счисления.

Как читать римские цифры? Одно из правил записи римских чисел гласит: «если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае меньшая цифра не может повторяться), то меньшая вычитается из большей».

В наши дни любую из римских цифр запрещается записывать в одном числе более трех раз подряд. В связи с этим выражение VIIII, XXXX и т. п. считаются некорректными. Однако древние римляне о подобном ограничении ничего не ведали, и число 1995 скорее всего записали бы так: MDCCCCLXXXXV.

Кроме египетской и римской к иероглифическим системам чисел относятся финикийская, пальмирская, критская, сирийская, греческая аттическая, или Геродианова (именно из сообщения грамматика Геродиана, жившего во 2-3 веках, западноевропейские историки впервые узнали о ее существовании). Известны также старокитайская, староиндийская, ацтекская иероглифические системы. В них, как в египетской и римской системах вводятся ключевые числа, для обозначения которых применяются специальные иероглифы. Все остальные числа образуются приписыванием с той или иной стороны ключевого числа других ключевых чисел, возможно с некоторыми повторениями.

Любопытно отметить, что у многих народов для обозначения числа 1 применялся один и тот же символ – вертикальная черточка. Это самое древнее число в истории человечества. Оно возникло из простой черты на земле, из зарубки на дереве или кости.

Наряду с иероглифическими в древности широко применялись системы, в которых числа изображались буквами алфавита. Именно такой была греческая алфавитная нумерация, получившая название ионической. Она сменила аттическую систему в 3 веке до н. э. вместе с христианством и письменностью эта нумерация пришла к славянам – сначала к южным, потом и к восточным.

Похожие системы счисления, в которых буквы алфавиты по совместительству «подрабатывали» цифрами, использовались в старину у арабов, евреев, грузин, армян.

Записи чисел в алфавитной нумерации получаются более короткими, чем в иероглифической. Но и у той и у другой системы представления чисел есть один весьма существенный недостаток: арифметические действия над такими числами – занятие весьма трудоемкое. Этого неудобства нет у позионных систем. Идея приписывать цифрам разные величины в зависимости от того, какую позицию они занимают в записи числа, впервые появилась в 3 тысячелетии до н. эй. в Месопотамии (Междуречье) у древнего талантливого народа – шумеры. От них она перешла к вавилонянам – новым хозяевам Междуречья, почему и вошла в историю как вавилонская система счисления.

Шестидесятеричная система широко применялась в астрономических расчетах вплоть до эпохи Возрождения.

Индейский народ майя, обитавший на территории Центральной Америки, в начале новой эры представлял числа примерно так, как и древние шумеры. Майя изобрели похожую числовую систему, но с другими основаниями – пятеричную-двадцатиричную.

Древнейшая известная запись в позиционной десятичной системе обнаружена в Индии и датируется 595 годом. Появление хорошо знакомого нам нуля было подготовлено системами счисления, издавна применявшимися не только в Индии, но и в Древнем Китае. В этих старинных системах для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен или тысяч использовались одни и те же символы, но дополнительно помечалось, в каком разряде они стоят. Постепенно заметили, что даже если не указывать имена разрядов, то число все ровно можно прочитать, т. к. у каждого разряда есть свое «посадочное место» – позиция. А если позиция пустая, то ее нужно пометить специальным значком – нулем. В поздних вавилонских текстах стал появляться такой знак, однако в конце числа его никогда не ставили. Лишь в Индии в 9 веке нуль окончательно занял свое место в нумерации, которая распространилась затем по всему миру.

Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, а затем и в Западную Европу. О ней подробно рассказал среднеазиатский математик аль-Хорезми. Простые и удобные правила сложения и вычитания сколь угодно больших чисел, записанных в позиционной системе, сделали ее особенно популярной. А поскольку труд аль-Хорезми был написан на общем для мусульманского мира языке- арабском, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось неправильное название – «арабская».

В десятичной системе всего 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Говорят также, что эти цифры представляют собой коэффициенты разложения заданного числа по степеням 10, а само число 10 называют основанием системы счисления. «Вес» цифры в десятичной записи числа определяется ее позицией: чем дальше отстоит данная позиция от крайнего правого разряда единиц, тем большую «солидность» и «вес» она имеет. Поэтому принятая система записи чисел называется десятичной позиционной системой счисления.

Позиционная система счисления, в которой в качестве базовых чисел выбираются степени числа 2, называется двоичной позиционной системой счисления. Чтобы различить числа, записанные в разных системах счисления, их заключают в скобки, а внизу справа указывают основание системы счисления. Например, запись (1100)2 означает то же самое число, что и запись (12)10. Поскольку все мы пользуемся десятичной системой счисления, то десятичное основание обычно не указывается: (1100)2=12.

Двоичная система счисления стала одним из истоков произошедшей в 20 веке грандиозной компьютерной революции. Технически две цифры воспроизвести просто: один – проходит ток в полупроводниковом элементе, ноль – ток не проходит. Состояния элемента «проходит ток» и «не проходит ток» могут сменять друг друга за очень короткие промежутки времени – миллионные доли секунды. Это позволяет производить арифметические действия над двоичными цифрами с неимоверной скоростью.

По сравнению с громоздкими таблицами умножения и сложения в десятичной системе, таблицы умножения и сложения двоичных чисел миниатюрны.

Операции простейшие, и компьютер выполняет их безупречно. Но иногда в машине происходит какой-нибудь сбой или программа-задание компьютеру на выполнение расчетов - содержит ошибку. Тогда программистам приходится перепроверять себя и компьютер, поэтому без знания всей компьютерной кухни, «стряпающей» двоичные числа, хорошему специалисту никак не обойтись.

К недостаткам двоичной системы можно отнести только «длинную» запись чисел (чем меньше в системе цифр, тем длинее будет запись числа). Перевод в двоичную систему вряд ли удастся выполнить в уме, поэтому стали использовать системы, родственные двоичной системе счисления, в которых запись числа на бумаге короче, чем в двоичной, а алгоритмы перевода не требуют сложных вычислений.

В восьмеричной системе 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, записанная в младшем разряде означает – как и в десятичном числе просто единицу, а в следующем разряде она означает 8, в следующем – 64 и т. д.

Запись числа в восьмеричной системе достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. Для первых десяти цифр используются привычные цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а для остальных шести цифр – первые буквы латинского алфавита: A-10, B-11, C-12, D-13, E-14, F-15. Как и в восьмеричной системе, цифра 1, записанная в младшем разряде, означает единицу. В следующем разряде та же цифра 1 означает 16, в следующем – 256 и т. д. цифра F, записанная в младшем разряде, означает 15, в следующем разряде – 15∙16 и т. д.

Таким образом, в современных информационных технологиях при создании программного обеспечения в основном используется двоичная система счисления, так как компьютеру легче оперировать большим числом простых элементов, чем небольшим числом сложных.

Заключение

В современной действительности люди используют многие системы счисления. Иногда мы даже сами не замечаем, что, например, мы пользуемся шестидесятеричной системой в часах, двенадцатеричной в календаре и т. д. Мы не замечаем их вокруг себя, но ведь без них мы уже не мыслим жизни. История отсортировала эти системы, и некоторые из них бесследно исчезли, но зато сейчас разные системы там, где их использовать удобнее. Например, человеку легче воспринимать короткие десятичные числа, а компьютеру удобнее работать с большим количеством простых сигналов в двоичных числах. За долгое время раскрылись преимущества и недостатки разных систем счисления, и сейчас они используются как раз там, где нужно.

Древние системы счисления отличаются большим разнообразием, поскольку привычный нам способ записи чисел с помощью десяти знаков появился далеко не сразу.
Прежде всего надо отметить, что существовали две основные системы счисления - пятеричная и привычная нам десятеричная. Кроме них, существовала так же 12-ричная, которая в Англии вплоть до 19 века вообще главенствовала. Из Древнего Вавилона пришла к нам и 60-ричная система счисления, которая применяется до сих пор при измерении угловых величин - круг, состоящий из 360 градусов делится без остатка на многие удобные цифры. Стоит отметить, что в древние системы счисления ряда народов прослеживаются остатки более древней пятеричной системы - у древних римлян и майя например.

Разнообразие в на самом деле небольшое - в основном десятичная или пятерично-десятичная. Но, вот когда дело доходило до записи на бумаге или камне, то тут, как говорится, каждый был сам себе голова. Академий наук тогда не было, министерств тоже, о стандартах школьного образования тем более никто не слыхивал, китайцы знали о достижениях греков мягко говоря маловато, и наоборот. Поэтому, каждый изобретал свой способ записи.

Пожалуй самым древним обозначением числа можно считать вертикальную палочку. Почти у всех древних народов она естественным образом изображала единицу. Дальше шли соответственно две, три, реже четыре палочки. Дальше в основном вводили новые знаки по достижении какого-то числа, при котором записывать большое числа палочек было просто неудобно.

Инки в Южной Америке придумали вообще уникальную сисему счисления - типу - числа обозначались узелками на шнурках! Различалась форма узелков, цвет шнурков, их расположение на шнурке. Система была довольно сложной, требовала специального обучения, но она вполне удовлетворяла инков, позволяя вести даже двойной счёт в бухгалтерии!

В Древнем Египте бытовала десятичная система счисления и существовало несколько систем обозначения чисел. Иероглифическая форма записи, когда для всех степеней десяти, включая единицу, был свой знак. Подобно другим системама счисления, любое число можно было обозначить сложением числовых значений этих знаков. Это "парадная", довольно громоздкая форма записи, поэтому существовала жреческая (иератическая) система счисления, в которой для единиц, десятков и т.д. были отдельные знаки. Складывать в такой записи тоже приходилось, но надпись была заметно короче. Позднее возникло ещё более простое демотическое письмо. Пока египетские системы счисления в моём не сделаны, по причине затруднений с кодировками и шрифтами для древнеегипетских надписей.

Настоящей переворотом стало открытие полноценного понятия нуля индийскими математиками. Благодаря этому появилась привычная нам десятичная ПОЗИЦИОННАЯ система счисления, рассказывать о которой нет особого смысла. Во многих странах существуют свои обозначения для чисел, но на поверку - все они отличаются друг от друга только внешним видом знаков(цифр) и не более того.

Я постарался не только собрать все эти системы счисления Древнего Мира и разных народов воедино, но и сделать удобным для использования. В итоге получилась программа "Титло" - переводчик чисел .

Ещё по этой теме:

Наиболее совершенным принципом представления чисел является позиционный (поместный) принцип , согласно которому один и тот же числовой знак (цифра) имеет различные значения в зависимости от места, где он расположен.

Такая система счисления основывается на том, что некоторое число N единиц (основание СС) объединяются в одну единицу второго разряда, N единиц второго разряда объединяются в одну единицу третьего разряда и т. д.

Основанием систем счисления может быть любое число, больше единицы . К числу таких систем относится современная десятичная система счисления (с основанием N =10). В ней для обозначения первых десяти чисел служат цифры 0,…,9.

Несмотря на кажущуюся естественность такой системы, она явилась результатом длительного исторического развития.

Возникновение десятичной системы счисления связывают со счетом на пальцах. Имелись системы счисления и с другим основанием: 5, 6, 12 (счет дюжинами), 20 (следы такой системы сохранились во французском языке, например quatre – vingts, т. е. буквально четыре – двадцать, означает 80), 40, 60 и др.

При вычислениях на ПК применяется система счисления с основанием 2. Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов. Звук над поверхностью воды распространялся на достаточно большое расстояние, таким образом «работал» полинезийский телеграф. В телеграфе в Х1Х-ХХ вв. информация передавалась с помощью азбуки Морзе - в виде последовательности из точек и тире. Часто мы договариваемся открывать входную дверь только по «условному сигналу» - комбинации коротких и длинных звонков. Двоичная система используется для решения головоломок и построения выигрышных стратегий в некоторых играх.

Современная десятичная позиционная система счисления возникла на основе нумерации, зародившейся не позднее 5 в. в Индии . До этого в Индии имелись системы счисления, в которых применялся не только принцип сложения, но и принцип умножения (единица какого – нибудь разряда умножается на стоящее слева число).

В то время существовало множество различных систем нумерации в различных областях Индии, одна из которых распространилась по всему миру и в настоящее время является общепринятой. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке - санскрите (алфавит "девангари").

Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3 ... 9, 10, 20, 30 ... 90, 100, 1000; с их помощью описывались другие числа. Впоследствии был введен особый знак (жирная точка, кружок) для указания пустующею разряда; знаки для чисел, больших 9, вышли из употребления, и нумерация" "девангари" превратилась в десятичную поместную систему. Как и когда совершился этот переход, до сих пор неизвестно. К середине VIII в. позиционная система нумерации получает в Индии широкое применение.

Примерно в это же время она проникает и в другие страны (Индокитай, Китай, Тибет , на территорию наших среднеазиатских республик , в Иран и др.). Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале IX в. Мухаммедом из Хорезма (ныне Хорезмская область Узбекистана). Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в XII в. В XIII в. индийская нумерация получает преобладание вИталии . В других странах Западной Европы она утверждается в XVI в. Европейцы, заимствовавшие индийскую нумерацию от арабов, называли ее арабской (исторически неправильное название удерживается и поныне).

Из арабского языка заимствовано и слою «цифра » (по-арабски "сыфр"), означающее буквально "пустое место" (с санскритского слова "сунья", имеющего тот же смысл). Это слово первоначально употреблялось для наименования знака пустующего разряда, и этот смысл сохраняло еще в XVIII в., хотя уже в XV в. появился латинский термин «нуль ». Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, в которой мы их пишем, установилась в XVI в.

В 9 в. появляются рукописи на арабском языке, в которых излагается эта система счисления, в 10 в. десятичная позиционная нумерация доходит до Испании , в начале 12 в. она появляется и в других странах Европы. Новая система счисления получила название арабской , т.к. в Европе с ней познакомились впервые по латинским переводам с арабского. Только в 16 в. новая нумерация получила широкое распространение в науке и житейском обиходе. В России она начинает распространяться в 17 в. и в самом начале 18 в. вытесняет алфавитную нумерацию. С введением десятичных дробей десятичная система стала универсальным средством для записи всех действительных чисел. Она дает принципиальную возможность записывать сколь угодно большие числа. Запись чисел в ней компактна и удобна для производства арифметических операций. Поэтому эта система начинает быстро распространяться из Индии на Запад и Восток.

Язык чисел имеет свой алфавит. В том языке чисел алфавитом служат десять цифр от 0 до 9. Это и есть десятичная система счисления.

Системой счисления называется способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называют цифрами. Древнее изображение десятичных цифр не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 - углов нет, 1 - один угол, 2 - два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.

Аналогично строились старокитайская система счисления и некоторые другие.

По свидетельству известного исследователя Африки Стэнли, у ряда африканских племен была распространена пятеричная СС. Долгое время пользовались пятеричной системой счисления и в Китае . Очевидна связь этой системы счисления со строением человеческой руки. Так, у человека пять пальцев на руке, которые удобно использовать для наглядного счета.

У ацтеков и майя - народов, населявших в течение многих столетий обширные области Американского континента и создавших там высочайшую культуру, в том числе и математическую, была принята двадцатеричная СС. Также эта система счисления была принята и у кельтов, населявших Западную Европу начиная со II тысячелетия до нашей эры. Основа для счета - пальцы рук и ног. Некоторые следы этой системы во французской денежной системе: основная денежная единица, франк, делится на 20

(1 франк = 20 су).

Широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Происхождение ее тоже связано со счетом на пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных четырех пальцев: всего их 12. Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе

(1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко и мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной СС: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков - 12 штук.

Южные и восточные славянские народы для записи чисел пользовались алфавитной нумерацией. У одних славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, у других же (в том числе у русских) роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите. При этом числовые значения букв возрастали в том же порядке, в каком следовали буквы в греческом алфавите (порядок букв славянского алфавита был несколько иной)

Славянские цифры до 18 в. были основным цифровым обозначением в России. Славянская нумерация сохранилась в России до конца XVII в. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах. Армяне и пользовались алфавитным принципом нумерации. Но в древнеармянском и древнегрузинском алфавитах было гораздо больше букв, чем в древнегреческом. Это позволило ввести особые обозначения для чисел 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000. Числовые значения следовали порядку букв в армянском и грузинском алфавитах.

Введение

На протяжении всей своей жизни мы сталкиваемся с числами и выполняем над ними арифметические действия. Нас это не удивляет. Мы воспринимаем это, как факт, как само собой разумеющееся. А откуда возникли числа и счет? Что такое система счисления? Где сейчас мы сталкиваемся с ними? Мне стало очень интересно, и я решила изучить эту тему.

Данная тема мне интересна еще и потому, что в настоящее время двоичная система счисления приобрела большое значение в связи с ее применением в электронных вычислительных машинах. Системы счисления с основанием 8 и 16 применяются в программировании различных процессов на вычислительной технике.

Я поставила перед собой цель: познакомиться с историей возникновения счета и систем счисления, изучить системы счисления, используемые в вычислительной технике, позиционные и непозиционные системы счисления и арифметические действия в различных системах. В данной работе будут рассмотрены разные системы счисления.

История создания систем счисления

В древности людям приходилось считать на пальцах. Кроме пальцев считать нужно было много предметов, к счету привлекали больше участников. Один считал единицы, второй - десятки, третий - сотни. Очевидно, такой счет лег в основу системы счисления, принятой почти у всех народов, она называется десятичной системой. Счет с основанием десять применяли и у восточных славян.

Где люди ходили босиком, по пальцам легко было считать до 20. Сохранились следы использования при счете основания двадцать. Например, во французском языке число 80 в дословном переводе на русский язык звучит как «четырежды двадцать».

Так же был распространен счет дюжинами, то есть счет, при котором пользовались системой с основанием 12. Её происхождение связано с 12 фалангами на четырёх пальцах руки (кроме большого). Еще и сейчас некоторые предметы принято считать дюжинами. Столовые приборы состоят из полудюжины или дюжины комплектов.

В древнем Вавилоне, где математика была очень высоко развита, существовала весьма сложная шестидесятеричная система счисления. В наше время мы тоже используем эту систему. Например: 1 час=60 минут; 1 минута=60 секунд.

Самой древней из пальцевых систем счисления считается пятеричная. Эта система зародилась, и наибольшее распространение получила в Америке. Ее создание относится к эпохе, когда человек считал по пальцам одной руки. До последнего времени у некоторых племен пятеричная система счисления сохранилась еще в чистом виде.

Таким образом, все системы (пятеричная, двенадцатеричная, двадцатеричная) связаны с тем или иным способом счёта по пальцам рук (или рук и ног). Переход человека к пальцевому счету привел к созданию различных систем счисления./1/

С древнейших времён перед людьми стояла проблема обозначения (кодирования) числовой информации.

Маленькие дети показывают свой возраст на пальцах. Лётчик сбил самолёт, ему за это рисуют звёздочку, Робинзон Крузо считал дни зарубками.

Числом обозначали некоторые реальные объекты, свойства которых были одинаковы. Когда мы что-то считаем или пересчитываем, мы как бы обезличиваем предметы, т.е. подразумеваем, что их свойства одинаковы. Но самым главным свойством числа является наличие объекта, т.е. единица и его отсутствие, т.е. ноль.

Что такое цифра?

Цифры и числа – это разные вещи! Рассмотрим два числа 5 2 и 2 5. Цифры одни и те же – 5 и 2.

А чем эти числа отличаются?

Порядком цифр? – Да! Но лучше сказать - позицией цифры в числе.

Давайте подумаем, что же это такое системы счисления?

Это запись чисел? Да! Но мы не можем писать так, как нам вздумается - нас должны понимать другие люди. Поэтому необходимо ещё использовать и определенные правила их записи.

Понятие системы счисления

Для записи информации о количестве объектов использу ются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти всем хорошо известных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных — не зависит.

Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных, поэтому рассмотрим сначала различные непозиционные системы счисления .

Непозиционные системы счисления

К непозиционным системам относятся: римская система счисления, алфавитные системы счисления и другие.

Сначала люди просто различали ОДИН предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «МНОГО».

Первыми понятиями математики были " меньше ", " больше ", " столько же ".

Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать , сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Счет появился тогда, когда человеку потребовалось сообщать своим соплеменникам о количестве найденных им предметов.

И, т ак как многие народы в древности не общались друг другом, то у разных народов возникли разные системы счисления и представления чисел и цифр.

Пальцы оказались прекрасной вычислительной машиной. С их помощью можно было считать до 5, а если взять две руки, то и до 10. В древние времена люди ходили босиком. Поэтому они могли пользоваться для счета пальцами как рук, так и ног. До сих пор существуют в Полинезии племена, использую щие с 20-ую систему счисления. Однако известны народы, у которых единицами счёта были не пальцы, а их суставы. Довольно широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Происхождение её связано со счетом на пальцах. Считали большим пальцем руки фаланги остальных четырёх пальцев: всего их 12. Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Нередко и мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной системой счисления: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков — 12 штук. Числа в английском языке от одного до двенадцати имеют свое название, последующие числа являются составными: Для чисел от 13 до 19 -- окончание слов -- teen. Например, 15 -- fiveteen.

Пальцевой счет сохранился кое-где и поныне. Н апример, на крупнейшей мировой хлебной бирже в Чикаго предложения и запросы, как и цены объявляются маклерами на пальцах без единого слова.

Запоминать большие числа было трудно, поэтому к «счетной машине» рук и ног стали добавлять различные приспособления. Появилась потребность в записи чисел.

Количество предметов изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности: камне, глине…

Единичная («палочная») система счисления

Чем больше зерна собирали люди со своих полей, чем многочисленнее становились их стада, тем большие числа становились им нужны.

Единичная запись для таких чисел была громоздкой и неудобной, поэтому люди стали искать более компактные способы обозначать большие числа.

Древнеегипетская десятичная система счисления

(2,5 тысяч лет до н.э.)

Пример1. Запишите число 1 245 386 в древнеегипетской записи

С операциями сложения и вычитания люди имели дело задолго до того, как числа получили имена.

Когда несколько групп сборщиков кореньев или рыболовов складывали в одно место свою добычу, они выполняли операцию сложения .

С операцией умножения люди познакомились, когда стали сеять хлеб и увидели, что собранный урожай в несколько раз больше, чем количество посеянных семян.

Когда добытое мясо животных или собранные орехи делили поровну между всеми "ртами", выполнялась операция деления .

Как же египтяне считали?

Умножение и деление египтяне производили путем последовательного удвоения чисел.

Пример. 19 * 31

Египтяне последовательно удваивали число 31. В правом столбце записывали результаты удвоения, а в левом - соответствующую степень двойки.

Римская десятичная система счисления

(2 тысячи лет до н.э. и до наших дней)

Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская система.

Главная проблема с римскими цифрами заключается в том, что сложно производить умножение и деление. Другим недостатком римской системы является: Запись больших чисел требует введения новых символов. А дробные числа можно записывать только как отношение двух чисел. Тем не менее, они были основными до конца средних веков. Но и в наше время их ещё используют.

Вспомните где?

Значение цифры не зависит от ее положения в числе.

Например, в числе XXX (30) цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину - число 10, три числа по 10 в сумме дают 30.

Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа - прибавляется.

Запомните: 5, 50, 500 не повторяются!

А какие могут повторяться?

Если слева от старшей цифры стоит младшая, то она отнимается. Если младшая цифра стоит справа от старшей, то она прибавляется - I, X, C, M могут повторяться до 3-х раз.

Например:

1)MMIV = 1000+1000+5-1 = 2004

2)149 = (Сто - C, сорок - XL, а девять - IX) = CXLIX

Например, запись десятичного числа 1998 в римской системе счисления будет выглядеть следующим образом: МСМХСVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Алфавитные системы счисления

Алфавитные непозиционные системы счисления были распространены у древних армян, грузин, греков (альфа, бэта, гамма), арабов, евреев, и других народов Ближнего Востока, а также у славян (аз, буки, веди).

Пример. Запишем число 444 в славянской системе.

Мы видим, что запись получилась не длиннее нашей десятичной. Это объясняется тем, что в алфавитных системах использовалось, по крайней мере, 27 «цифр».

Удобны ли алфавитные системы?

Недостатки непозиционных систем счисления:

1. Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. В частности, у всех народов наряду с системами счисления были способы пальцевого счета, а у греков был счетная доска абак – что-то наподобие наших счетов.

Вплоть до конца средневековья не существовало никакой универсальной системы записи чисел. Только с развитием математики, физики, техники, торговли, финансовой системы возникла потребность в единой универсальной системе счисления, хотя и сейчас многие племена, нации и народности используют другие системы счисления.

Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системы счисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков, тысяча, миллион, миллиард, триллион.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

За основание можно принять любое натуральное число — два, три, четыре, ..., образовав новую позиционную систему: двоичную, троичную, четверичную и .. .

Десятичная п озиционная система счисления

Индийские ученые сделали одно из важнейших в математике открытий - изобрели позиционную систему счисления, которой теперь пользуется весь мир. Ал-Хорезми подробно описал индийскую арифметику в своей книге.

Триста лет спустя (в 1120 г.) эту книгу перевели на латинский язык, и она стала первым учебником "индийской" арифметики для всех европейских городов.

Основания, используемые в наши дни:

10 у привычной десятичной системы счисления (десять пальцев на руках). Алфавит: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

60 придумано в Древнем Вавилоне: деление часа на 60 минут, минуты — на 60 секунд, угла — на 360 градусов.

12 распространили англосаксы: в году 12 месяцев, в сутках два периода по 12 часов, в футе 12 дюймов

7 используется для счета дней недели

Домашнее задание: - выучить определение "система счисления" и классификацию СС

1. Какие числа записаны с помощью римских цифр: МС I Х, L Х V ?

2. Запишите год своего рождения:

А) в древнеегипетской системе счисления;

б) в римской системе счисления;

В) в древнеславянской системе счисления.