Неравенства с параметрами примеры решения. Учебное пособие "уравнения и неравенства с параметрами"

Многие задачи с параметром сводятся к исследованию квадратного трёхчлена, поэтому рассмотрим эти задачи подробнее.

I. При решении простейших задач бывает достаточно формулы для корней квадратного уравнения и теоремы Виета.

При каких значениях параметра a a множество решений неравенства $$x^2+ax-1

Поскольку коэффициент при x 2 x^2 положителен, решением неравенства является интервал между корнями в случае $$D > 0$$ и пустое множество, если D ≤ 0 D \leq 0 .

Находим дискриминант: D = a 2 + 4 D = a^2+4 ($$D>0$$ при всех a a). Тогда множество решений есть промежуток

x ∈ (- a - a 2 + 4 2 ; - a + a 2 + 4 2) x \in (\dfrac{-a-\sqrt{a^2+4}}{2}; \dfrac{-a+\sqrt{a^2+4}}{2}) . Требуется, чтобы длина этого промежутка была равна 5, т. е.

A + a 2 + 4 2 = - a - a 2 + 4 2 + 5 ⇔ a 2 + 4 = 5 ⇔ a = ± 21 \dfrac{-a+\sqrt{a^2+4}}{2} = \dfrac{-a-\sqrt{a^2+4}}{2} + 5 \Leftrightarrow \sqrt{a^2+4}=5 \Leftrightarrow a = \pm \sqrt{21} .

ОТВЕТ

A = ± 21 a = \pm \sqrt{21}

При каких значениях параметра p p уравнение x 2 + p 2 + 4 p · x + p - 1 x^2+\sqrt{p^2+4p}\cdot x +p-1 имеет корни, а сумма квадратов корней минимальна?

Сумму квадратов корней уравнения удобно выразить с помощью теоремы Виета:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = (- p 2 + 4 p) 2 - 2 (p - 1) = p 2 + 2 p + 2 x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-\sqrt{p^2+4p})^2-2(p-1) = p^2 +2p + 2 .

Но прежде, чем применять теорему Виета, обязательно нужно проверить, что уравнение имеет корни! Для этого вычисляем дискриминант: D = p 2 + 4 p - 4 (p - 1) = p 2 + 4 D = p^2+4p-4(p-1) = p^2+4 . Видим, что дискриминант положителен при любых допустимых значениях p p , т. е. при

p ∈ (- ∞ ; - 4 ] ∪ [ 0 ; + ∞)                           (5) p \in (-\infty; -4]\bigcup и пр.), в которых надо самостоятельно нарисовать чертёж и сделать соответствующие выводы.

Замечания. 1. Для уравнений и неравенств вида

$$ax^2 + bx + c = 0,\: ax^2 + bx + c > 0, \: ax^2 + bx + c надо отдельно рассматривать случай a = 0 a =0 . Тогда получится линейное уравнение (неравенство).

2. В большинстве задач важно учесть знак числа a a - от этого зависит направление ветвей параболы.

3. Заметим, что совокупность двух систем

$$\begin{cases} a > 0, \\ f(a) > 0 \end{cases} и \begin{cases} a

равносильна неравенству $$a f(a) > 0$$. Поэтому в условии 1 ° 1^{\circ} можно записать одну систему $$\begin{cases} D>0, \\ a f(A) > 0, \\ x_{\text{в}}

Аналогично можно упростить и другие условия:

$$2^{\circ} \Leftrightarrow \begin{cases} D>0, \\ a f(A) > 0, \\ x_{\text{в}} > A .\end{cases} \:\:\: 3^{\circ} \Leftrightarrow a f(A) 0, \\ a f(A) > 0, \\ a f(B) > 0, \\ A

Перейдём к примерам.

При каких a a уравнение (2 a - 2) x 2 + (a + 1) x + 1 = 0 (2a-2)x^2 + (a+1)x +1 = 0 имеет корни, и все они принадлежат интервалу (- 2 ; 0) (-2; 0) ?

1) Если 2 a - 2 = 0   (a = 1) 2a-2=0\:(a=1) , то уравнение принимает вид 2 x + 1 = 0 2x+1=0 . Это уравнение имеет единственный корень x = - 0,5 x=-0,5 , который принадлежит интервалу (- 2 ; 0) (-2; 0) . Значит, a = 1 a =1 удовлетворяет условию задачи.

2) Если 2 a - 2 ≠ 0 2a-2 \neq 0 , то уравнение квадратное. Находим дискриминант:

D = (a + 1) 2 - 4 (2 a - 2) = a 2 - 6 a + 9 = (a - 3) 2 D=(a+1)^2-4(2a-2)=a^2-6a+9=(a-3)^2 .

Поскольку дискриминант является полным квадратом, находим корни(как правило, вышеописанные приёмы с расположением корней удобно использовать, если формулы для корней громоздкие. Если дискриминант является полным квадратом и корни получаются “хорошими”, то проще решить задачу напрямую):

Для выполнения условий задачи требуется, чтобы выполнялось неравенство $$-2 \dfrac{3}{2}$$.

ОТВЕТ

A ∈ { 1 } ∪ (3 2 ; + ∞) a \in \{1\}\bigcup (\dfrac{3}{2}; +\infty) .

При каких значениях a a неравенство $$4^{\textrm{sin}\:x}-2\cdot (a-3) \cdot 2^{\textrm{sin}\:x} + a+3 > 0$$ выполняется для всех x x ?

Обозначим 2 sin   x = y 2^{\textrm{sin}\:x}=y . Поскольку - 1 ≤ sin   x ≤ 1 -1 \leq \textrm{sin}\:x \leq 1 , получаем, что 1 2 ≤ 2 sin   x ≤ 2 \dfrac{1}{2} \leq 2^{\textrm{sin}\:x} \leq 2 . Исходное неравенство принимает вид

$$y^2-2(a-3)y+(a+3) > 0$$

Данная задача эквивалентна следующей: «при каких a a неравенство $$y^2-2(a-3)y+(a+3) > 0$$ выполнено для всех y ∈ [ 1 2 ; 2 ] y \in [\dfrac{1}{2};2] ?»

График левой части этого неравенства - парабола с ветвями вверх. Требования задачи будут выполнены в двух случаях. 1) $$D

а) Это расположение параболы (корни находятся слева от отрезка [ 1 2 ; 2 ] [\dfrac{1}{2};2]) задаётся условиями (записываем и решаем систему):

$$\begin{cases} D \geq 0,\\ x_{\text{в}} 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (a-3)^3-(a+3) \geq 0,\\ a-3 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \in (-\infty;1]\bigcup]6;+\infty),\\ a 0 \end{cases} \Leftrightarrow a \leq 1 $$.

б) Этот случай задаётся условием $$D

в) Аналогично случаю а) получаем систему:

$$\!\!\!\! \begin{cases} D \geq 0,\\ x_{\text{в}} > 2,\\ f(2) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (a-3)^3-(a+3) \geq 0,\\ a-3 > 2,\\ 4 - 4(a-3) +a+3 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\in (-\infty; 1]\bigcup ?

1) Рассматриваем случай a = 0 a = 0 (тогда уравнение не квадратное). Уравнение принимает вид - 5 x - 6 = 0 -5x-6=0 . Корней на отрезке [ 0 ; 2 ] нет, поэтому a = 0 a = 0 не подходит.

2) Уравнение квадратное. Обозначим левую часть уравнения через f (x) f(x) . Уравнение имеет на отрезке [ 0 ; 2 ] ровно один корень в двух случаях.

А) Уравнение имеет единственный корень, и он принадлежит отрезку [ 0 ; 2 ] . Это возможно при D = 0 D = 0 . Вычисляем дискриминант:

D = (2 a - 5) 2 - 4 a (a - 6) = 4 a + 25 D = (2a-5)^2-4a(a-6) = 4a+25 .

Дискриминант обращается в ноль при a = - 25 4 a=-\dfrac{25}{4} . При этом исходное уравнение принимает вид - 25 4 x 2 - 35 2 x - 49 4 = 0 -\dfrac{25}{4}x^2-\dfrac{35}{2}x - \dfrac{49}{4} = 0 , откуда x = - 7 5 x = -\dfrac{7}{5} . Корней на отрезке [ 0 ; 2 ] нет, значит, этот случай не реализуется ни при каких значениях параметра a a .

Б) Уравнение имеет два корня ($$D>0 \Leftrightarrow a>-\dfrac{25}{4}$$), один из которых принадлежит отрезку [ 0 ; 2 ] , а другой - нет. Для выполнения этого условия необходимо и достаточно, чтобы либо (а) функция f (x) f(x) принимала на концах отрезка [ 0 ; 2 ] значения разных знаков - тогда корень лежит в интервале (0 ; 2) (0;2) (в качестве примера(можете самостоятельно рассмотреть и другие возможные расположения параболы) см. рис. 7), либо (б) в одном из концов отрезка обращалась в ноль - тогда корень лежит на одном из концов отрезка.

(а) Условие “числа f (0) f(0) и f (2) f(2) имеют разные знаки” равносильно неравенству $$f(0)\cdot f(2)

$$\left(a-6\right)\left(4a+2\left(2a-5\right)+\left(a-6\right)\right)

(б) Если f (0) = 0 f(0) = 0 , то a = 6 a=6 . Тогда уравнение принимает вид 6 x 2 + 7 x = 0 6x^2+7x=0 . Его корнями являются числа x = 0 x=0 и x = - 7 6 x=-\dfrac{7}{6} , т. е. на отрезке [ 0 ; 2 ] оно имеет ровно один корень.

Если f (2) = 0 f(2) = 0 , то a = 16 9 a=\dfrac{16}{9} . Тогда получаем 16 9 x 2 - 13 9 x - 38 9 = 0 \dfrac{16}{9}x^2 - \dfrac{13}{9}x - \dfrac{38}{9} = 0 , откуда x = 2 x=2 или x = - 19 16 x=-\dfrac{19}{16} , т. е. опять из двух корней только один принадлежит отрезку [ 0 ; 2 ] .

Значит, оба значения a = 6 a=6 и a = 16 9 a=\dfrac{16}{9} и удовлетворяют условию задачи(при f (2) = 0 f(2) = 0 или f (0) = 0 f(0) = 0 обязательно надо найти второй корень и посмотреть, находится ли он на отрезке [ 0 ; 2 ] ).

Объединяя результаты, получаем a ∈ [ 16 9 ; 6 ] a\in [\dfrac{16}{9}; 6] .

ОТВЕТ

16 9 ≤ a ≤ 6 \dfrac{16}{9} \leq a \leq 6

При каких значениях параметра a a уравнение | x 2 - 4 | x | + 3 | = a |x^2-4|x|+3| = a имеет ровно 8 решений?

Изобразим графики левой и правой частей на плоскости xOy.

Чтобы построить график левой части, сначала изображаем параболу y = x 2 - 4 x + 3 y = x^2-4x+3 . Затем отражаем все точки этой параболы, лежащие ниже оси абсцисс, относительно этой оси и получаем график функции y = | x 2 - 4 x + 3 | y=|x^2-4x+3| (рис. 8а). Далее отбрасываем все точки, лежащие слева от оси абсцисс, а оставшиеся точки отражаем относительно этой оси - получаем график функции y = | x 2 - 4 | x | + 3 | y=|x^2-4|x|+3| .

График правой части - это горизонтальная прямая y = a y=a . Уравнение имеет 8 решений, когда эта прямая пересекает график y = | x 2 - 4 | x | + 3 | y=|x^2-4|x|+3| в восьми точках. Несложно видеть, что это происходит при $$0ОТВЕТ

A ∈ (0 ; 1) a\in (0;1)

Найдите все значения параметра p p , при которых уравнение 4 x + 2 x + 2 + 7 = p - 4 - x - 2 · 2 1 - x 4^x+2^{x+2}+7=p-4^{-x}-2\cdot 2^{1-x} имеет хотя бы одно решение.

Перепишем уравнение в виде (4 x + 4 - x) + 4 · (2 x + 2 - x) = p - 7 (4^x+4^{-x})+4\cdot (2^x+2^{-x})=p-7 и сделаем замену 2 x + 2 - x = t 2^x+2^{-x}=t . Возводя обе части последнего равенства в квадрат, получаем, что t 2 = (2 x + 2 - x) 2 = 4 x + 2 + 4 - x t^2=(2^x+2^{-x})^2=4^x+2+4^{-x} , откуда 4 x + 4 - x = t 2 - 2 4^x+4^{-x} = t^2-2 . Уравнение принимает вид t 2 - 2 + 4 t = p - 7 ⇔ (t + 2) 2 = p - 1 t^2-2+4t = p-7 \Leftrightarrow (t+2)^2 = p-1 .

Найдём множество значений левой части уравнения. Поскольку(используем, что сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше двух: a + 1 a ≥ 2 a+\dfrac{1}{a} \geq 2 при $$a>0$$ 0 (равенство возможно только при a = 1 a = 1). Это можно доказать, например, с помощью неравенства Коши: для положительных чисел среднее арифметическое не меньше среднего геометрического (a 1 + a 2 + . . . + a k k ≥ a 1 · a 2 · . . · a k k) (\dfrac{a_1+a_2+...+a_k}{k} \geq \sqrt[k]{a_1\cdot a_2\cdot .. \cdot a_k}) , причём равенство достигается только в случае a 1 = a 2 = . . . = a k a_1=a_2=...=a_k . Для двух положительных чисел это неравенство принимает вид a + b 2 ≥ a b \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} . Если сюда подставить b = 1 a b = \dfrac{1}{a} , то получится требуемое неравенство.) t ≥ 2 t \geq 2 , получаем, что левая часть уравнения принимает значения из промежутка [ 16 ; + ∞) .

Решение. Преобразуем левую часть данного неравенства следующим образом:

(2-x)а 2 + (x 2 -2x+3)а-3х=ах 2 - а 2 х - 2ах + 2а 2 + 3а - 3x =

Ах (х - а)-2а(х - а)- 3(х-а) = (x - а)(аx- 2а - 3).

Данное неравенство примет вид: (x - а) (аx - 2а - 3) ≥ 0.

Если а = 0, получаем - Зх ≥ 0 x ≤ 0.

Если а ≠ 0, то -3 а

Так как а 0, то решением этого неравенства будет промежуток числовой оси, расположенный между корнями соответствующего неравенству уравнения.

Выясним взаимное расположение чисел а и , учитывая при этом условие - 3 ≤ а

3 ≤a

A = -1.

Представим во всех рассмотренных случаях решения данного неравенства в зависимости от значений параметра:

Получим, что только х = -1 является решением данного неравенства при любом значении параметра а  .

Ответ: -1

8. Заключение.

Почему мной был выбран проект по теме «Разработка методических рекомендаций решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами»? Так как при решении любых тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений, неравенств, систем мы чаще всего приходим к рассмотрению иногда линейных, а чаще всего квадратных уравнений и неравенств. При решении сложнейших задач с параметрами большинство заданий сводится с помощью равносильных преобразований к выбору решений типа: а (х – а) (х – с) > 0 (

Мы рассмотрели теоретические основы для решения квадратных уравнений и неравенств с параметрами. Вспомнили необходимые формулы и преобразования, рассмотрели различные расположения графиков квадратичной функции в зависимости от значения дискриминанта, от знака при старшем коэффициенте, от расположения корней, вершины параболы. Выявили схему решения и выбора результатов, составили таблицу.

В проекте показаны аналитические и графические методы решения квадратных уравнений и неравенств. Обучающимся в профессиональном училище необходимо зрительное восприятие материала для лучшего усвоения материала. Показано, как можно поменять переменную х и принять параметр как равноправную величину.

Для наглядного усвоения данной темы рассмотрено решение 8 задач с параметрами, по 1 – 2 для каждого раздела. В примере № 1 рассмотрено количество решений при различных значениях параметра, в примере № 3 проводится разбор решения квадратного уравнения при самых различных начальных условиях. Для решения квадратных неравенств сделана графическая иллюстрация. В примере № 5 применяется метод замены параметра как равноправной величины. В проект включено рассмотрение примера № 8 из заданий, включенных в раздел С, для интенсивной подготовки к сдаче ЕГЭ.

Для качественной подготовки обучающихся решению задач с параметрами рекомендуется в полном объеме использовать мультимедийные технологии, а именно: использовать для лекций презентации, электронные учебники и книги, собственные разработки из медиатеки. Очень эффективны бинарные уроки математика + информатика. Незаменимым помощником преподавателю и учащемуся является Интернет. В презентации необходимы импортированные объекты из существующих образовательных ресурсов. Наиболее удобным и приемлемым в работе является ЦОР «Использование Microsoft Office в школе».

Разработка методических рекомендаций по данной тематике облегчит работу молодых преподавателей, пришедших работать в училище, пополнит портфолио преподавателя, послужит образцом для специальных предметов, образцы решений помогут обучающимся справиться со сложными заданиями.

9. Литература.

1.Горнштейн П.И., Полонский В.Б., ЯкирМ.С. Задачи с параметрами. «Илекса», «Гимназия», Москва – Харьков, 2002.

2.Балаян Э.Н. Сборник задач по математике для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам. 9-11 классы. «Феникс», Ростов-на Дону, 2010.

3.Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. М., «Просвещение», 1986.

4.Колесникова С.И. Математика. Решение сложных задач Единого государственного экзамена. М. «АЙРИС – пресс», 2005.

5.Родионов Е.М., Синякова С.Л. Математика. Пособие для поступающих в вузы. Учебный центр «Ориентир» МГТУ им. Н.Э. Баумана, М., 2004.

6. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: В 2 кн. Кн.1, М., 2009.

Решение неравенств с параметром.

Неравенства, которые имеют вид ax > b, ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются линейными неравенствами .

Принципы решения линейных неравенств с параметром очень схожи с принципами решения линейных уравнений с параметром.

Пример 1.

Решить неравенство 5х – а > ax + 3.

Решение.

Для начала преобразуем исходное неравенство:

5х – ах > a + 3, вынесем за скобки х в левой части неравенства:

(5 – а)х > a + 3. Теперь рассмотрим возможные случаи для параметра а:

Если a > 5, то x < (а + 3) / (5 – а).

Если а = 5, то решений нет.

Если а < 5, то x > (а + 3) / (5 – а).

Данное решение и будет являться ответом неравенства.

Пример 2.

Решить неравенство х(а – 2) / (а – 1) – 2а/3 ≤ 2х – а при а ≠ 1.

Решение.

Преобразуем исходное неравенство:

х(а – 2) / (а – 1) – 2х ≤ 2а/3 – а;

Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Домножим на (-1) обе части неравенства, получим:

ах/(а – 1) ≥ а/3. Исследуем возможные случаи для параметра а:

1 случай. Пусть a/(а – 1) > 0 или а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Тогда x ≥ (а – 1)/3.

2 случай. Пусть a/(а – 1) = 0, т.е. а = 0. Тогда x – любое действительное число.

3 случай. Пусть a/(а – 1) < 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

Ответ: х € [(а – 1)/3; +∞) при а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
х € [-∞; (а – 1)/3] при а € (0; 1);
х € R при а = 0.

Пример 3.

Решить неравенство |1 + x| ≤ аx относительно х.

Решение.

Из условия следует, что правая часть неравенства ах должна быть не отрицательна, т.е. ах ≥ 0. По правилу раскрытия модуля из неравенства |1 + x| ≤ аx имеем двойное неравенство

Ах ≤ 1 + x ≤ аx. Перепишем результат в виде системы:

{аx ≥ 1 + x;
{-ах ≤ 1 + x.

Преобразуем к виду:

{(а – 1)x ≥ 1;
{(а + 1)х ≥ -1.

Исследуем полученную систему на интервалах и в точках (рис. 1) :

При а ≤ -1 х € (-∞; 1/(а – 1)].

При -1 < а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

При а = 0 x = -1.

При 0 < а ≤ 1 решений нет.

Графический метод решения неравенств

Построение графиков значительно упрощает решение уравнений, содержащих параметр. Использование графического метода при решении неравенств с параметром еще нагляднее и целесообразнее.

Графическое решение неравенств вида f(x) ≥ g(x) означает нахождение значений переменной х, при которых график функции f(x) лежит выше графика функции g(x). Для этого всегда необходимо найти точки пересечения графиков (если они существуют).

Пример 1.

Решить неравенство |x + 5| < bx.

Решение.

Строим графики функций у = |x + 5| и у = bx (рис. 2) . Решением неравенства будут те значения переменной х, при которых график функции у = |x + 5| будет находиться ниже графика функции у = bx.

На рисунке видно:

1) При b > 1 прямые пересекаются. Абсцисса точки пересечения графиков этих функций есть решение уравнения х + 5 = bx, откуда х = 5/(b – 1). График у = bx находится выше при х из интервала (5/(b – 1); +∞), значит это множество и есть решение неравенства.

2) Аналогично находим, что при -1 < b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) При b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).

4) При 0 ≤ b ≤ 1 графики не пересекаются, а значит, и решений у неравенства нет.

Ответ: x € (-∞; 5/(b – 1)) при b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) при -1 < b < 0;
решений нет при 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) при b > 1.

Пример 2.

Решить неравенство а(а + 1)х > (a + 1)(a + 4).

Решение.

1) Найдем «контрольные » значения для параметра а: а 1 = 0, а 2 = -1.

2) Решим данное неравенство на каждом подмножестве действительных чисел: (-∞; -1); {-1}; (-1; 0); {0}; (0; +∞).

a) a < -1, из данного неравенства следует, что х > (a + 4)/a;

b) a = -1, тогда данное неравенство примет вид 0·х > 0 – решений нет;

c) -1 < a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

d) a = 0, тогда данное неравенство имеет вид 0 · х > 4 – решений нет;

e) a > 0, из данного неравенства следует, что х > (a + 4)/a.

Пример 3.

Решить неравенство |2 – |x|| < a – x.

Решение.

Строим график функции у = |2 – |x|| (рис. 3) и рассматриваем все возможные случаи расположения прямой у = -x + а.

Ответ: решений у неравенства нет при а ≤ -2;
x € (-∞; (а – 2)/2) при а € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) при a > 2.

При решении различных задач, уравнений и неравенств с параметрами открывается значительное число эвристических приемов, которые потом с успехом могут быть применены в любых других разделах математики.

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Именно поэтому, овладев методами решения задач с параметрами, вы успешно справитесь и с другими задачами.

Остались вопросы? Не знаете, как решать неравенства?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Решение неравенств с параметром.

Неравенства, которые имеют вид ax > b, ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются линейными неравенствами .

Принципы решения линейных неравенств с параметром очень схожи с принципами решения линейных уравнений с параметром.

Пример 1.

Решить неравенство 5х – а > ax + 3.

Решение.

Для начала преобразуем исходное неравенство:

5х – ах > a + 3, вынесем за скобки х в левой части неравенства:

(5 – а)х > a + 3. Теперь рассмотрим возможные случаи для параметра а:

Если a > 5, то x < (а + 3) / (5 – а).

Если а = 5, то решений нет.

Если а < 5, то x > (а + 3) / (5 – а).

Данное решение и будет являться ответом неравенства.

Пример 2.

Решить неравенство х(а – 2) / (а – 1) – 2а/3 ≤ 2х – а при а ≠ 1.

Решение.

Преобразуем исходное неравенство:

х(а – 2) / (а – 1) – 2х ≤ 2а/3 – а;

Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Домножим на (-1) обе части неравенства, получим:

ах/(а – 1) ≥ а/3. Исследуем возможные случаи для параметра а:

1 случай. Пусть a/(а – 1) > 0 или а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Тогда x ≥ (а – 1)/3.

2 случай. Пусть a/(а – 1) = 0, т.е. а = 0. Тогда x – любое действительное число.

3 случай. Пусть a/(а – 1) < 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

Ответ: х € [(а – 1)/3; +∞) при а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
х € [-∞; (а – 1)/3] при а € (0; 1);
х € R при а = 0.

Пример 3.

Решить неравенство |1 + x| ≤ аx относительно х.

Решение.

Из условия следует, что правая часть неравенства ах должна быть не отрицательна, т.е. ах ≥ 0. По правилу раскрытия модуля из неравенства |1 + x| ≤ аx имеем двойное неравенство

Ах ≤ 1 + x ≤ аx. Перепишем результат в виде системы:

{аx ≥ 1 + x;
{-ах ≤ 1 + x.

Преобразуем к виду:

{(а – 1)x ≥ 1;
{(а + 1)х ≥ -1.

Исследуем полученную систему на интервалах и в точках (рис. 1) :

При а ≤ -1 х € (-∞; 1/(а – 1)].

При -1 < а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

При а = 0 x = -1.

При 0 < а ≤ 1 решений нет.

Графический метод решения неравенств

Построение графиков значительно упрощает решение уравнений, содержащих параметр. Использование графического метода при решении неравенств с параметром еще нагляднее и целесообразнее.

Графическое решение неравенств вида f(x) ≥ g(x) означает нахождение значений переменной х, при которых график функции f(x) лежит выше графика функции g(x). Для этого всегда необходимо найти точки пересечения графиков (если они существуют).

Пример 1.

Решить неравенство |x + 5| < bx.

Решение.

Строим графики функций у = |x + 5| и у = bx (рис. 2) . Решением неравенства будут те значения переменной х, при которых график функции у = |x + 5| будет находиться ниже графика функции у = bx.

На рисунке видно:

1) При b > 1 прямые пересекаются. Абсцисса точки пересечения графиков этих функций есть решение уравнения х + 5 = bx, откуда х = 5/(b – 1). График у = bx находится выше при х из интервала (5/(b – 1); +∞), значит это множество и есть решение неравенства.

2) Аналогично находим, что при -1 < b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) При b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).

4) При 0 ≤ b ≤ 1 графики не пересекаются, а значит, и решений у неравенства нет.

Ответ: x € (-∞; 5/(b – 1)) при b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) при -1 < b < 0;
решений нет при 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) при b > 1.

Пример 2.

Решить неравенство а(а + 1)х > (a + 1)(a + 4).

Решение.

1) Найдем «контрольные » значения для параметра а: а 1 = 0, а 2 = -1.

2) Решим данное неравенство на каждом подмножестве действительных чисел: (-∞; -1); {-1}; (-1; 0); {0}; (0; +∞).

a) a < -1, из данного неравенства следует, что х > (a + 4)/a;

b) a = -1, тогда данное неравенство примет вид 0·х > 0 – решений нет;

c) -1 < a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

d) a = 0, тогда данное неравенство имеет вид 0 · х > 4 – решений нет;

e) a > 0, из данного неравенства следует, что х > (a + 4)/a.

Пример 3.

Решить неравенство |2 – |x|| < a – x.

Решение.

Строим график функции у = |2 – |x|| (рис. 3) и рассматриваем все возможные случаи расположения прямой у = -x + а.

Ответ: решений у неравенства нет при а ≤ -2;
x € (-∞; (а – 2)/2) при а € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) при a > 2.

При решении различных задач, уравнений и неравенств с параметрами открывается значительное число эвристических приемов, которые потом с успехом могут быть применены в любых других разделах математики.

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Именно поэтому, овладев методами решения задач с параметрами, вы успешно справитесь и с другими задачами.

Остались вопросы? Не знаете, как решать неравенства?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Тип задания: 18

Условие

При каких значениях параметра a неравенство

\log_{5}(4+a+(1+5a^{2}-\cos^{2}x) \cdot \sin x - a \cos 2x) \leq 1 выполняется при всех значениях x ?

Показать решение

Решение

Данное неравенство равносильно двойному неравенству 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \sin^{2}x-1) \leq 5 .

Пусть \sin x=t , тогда получим неравенство:

4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*) , которое должно выполняться при всех значениях -1 \leq t \leq 1 . Если a=0 , то неравенство (*) выполняется для любого t\in [-1;1] .

Пусть a \neq 0 . Функция f(t)=t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t возрастает на промежутке [-1;1] , так как производная f"(t)=3t^{2}+4at+5a^{2} > 0 при всех значениях t \in \mathbb{R} и a \neq 0 (дискриминант D < 0 и старший коэффициент больше нуля).

Неравенство (*) будет выполняться для t \in [-1;1] при условиях

\begin{cases} f(-1) > -4, \\ f(1) \leq 1, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow \begin{cases} -1+2a-5a^{2} > -4, \\ 1+2a+5a^{2} \leq 1, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow \begin{cases} 5a^{2}-2a-3 < 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac{2}{5} \leq a < 0 .

Итак, условие выполняется при -\frac{2}{5} \leq a \leq 0 .

Ответ

\left [ -\frac{2}{5}; 0 \right ]

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 18
Тема: Неравенства с параметром

Условие

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых неравенство

x^2+3|x-a|-7x\leqslant -2a

имеет единственное решение.

Показать решение

Решение

Неравенство равносильно совокупности систем неравенств

\left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \end{cases} \\ \begin{cases}x \left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} x \geqslant a, \\ x^2-4x-a\leqslant0; \end{cases} \\ \begin{cases}x \left[\!\!\begin{array}{l} \begin{cases} a \leqslant x, \\ a\geqslant x^2-4x; \end{cases} \\ \begin{cases}a>x, \\ a\leqslant -\frac{x^2}{5}+2x. \end{cases}\end{array}\right.

В системе координат Oxa построим графики функций a=x, a=x^2-4x, a=-\frac{x^2}{5}+2x.

Полученной совокупности удовлетворяют точки, заключенные между графиками функций a=x^2-4x, a=-\frac{x^2}{5}+2x на промежутке x\in (заштрихованная область).

По графику определяем: исходное неравенство имеет единственное решение при a=-4 и a=5 , так как в заштрихованной области будет единственная точка с ординатой a , равной -4 и равной 5.