В общем случае равноускоренным движением называют такое движение, при котором вектор ускорения остается неизменным по модулю и направлению. Примером такого движения является движение камня, брошенного под некоторым углом к горизонту (без учета сопротивления воздуха). В любой точке траектории ускорение камня равно ускорению свободного падения . Для кинематического описания движения камня систему координат удобно выбрать так, чтобы одна из осей, например ось OY , была направлена параллельно вектору ускорения. Тогда криволинейное движение камня можно представить как сумму двух движений - прямолинейного равноускоренного движения вдоль оси OY и равномерного прямолинейного движения в перпендикулярном направлении, т. е. вдоль оси OX (рис. 1.4.1).

Таким образом, изучение равноускоренного движения сводится к изучению прямолинейного равноускоренного движения. В случае прямолинейного движения векторы скорости и ускорения направлены вдоль прямой движения. Поэтому скорость υ и ускорение a в проекциях на направление движения можно рассматривать как алгебраические величины.

Рисунок 1.4.1. Проекции векторов скорости и ускорения на координатные оси. a x = 0, a y = -g

При равноускоренном прямолинейном движении скорость тела определяется формулой

(*)

В этой формуле υ 0 - скорость тела при t = 0 (начальная скорость ), a = const - ускорение. На графике скорости υ (t ) эта зависимость имеет вид прямой линии (рис. 1.4.2).

Рисунок 1.4.2. Графики скорости равноускоренного движения

По наклону графика скорости может быть определено ускорение a тела. Соответствующие построения выполнены на рис. 1.4.2 для графика I. Ускорение численно равно отношению сторон треугольника ABC :

Чем больше угол β, который образует график скорости с осью времени, т. е. чем больше наклон графика (крутизна ), тем больше ускорение тела.

Для графика I: υ 0 = -2 м/с, a = 1/2 м/с 2 .

Для графика II: υ 0 = 3 м/с, a = -1/3 м/с 2

График скорости позволяет также определить проекцию перемещения s тела за некоторое время t . Выделим на оси времени некоторый малый промежуток времени Δt . Если этот промежуток времени достаточно мал, то и изменение скорости за этот промежуток невелико, т. е. движение в течение этого промежутка времени можно считать равномерным с некоторой средней скоростью, которая равна мгновенной скорости υ тела в середине промежутка Δt . Следовательно, перемещение Δs за время Δt будет равно Δs = υΔt . Это перемещение равно площади заштрихованной полоски (рис. 1.4.2). Разбив промежуток времени от 0 до некоторого момента t на малые промежутки Δt , получим, что перемещение s за заданное время t при равноускоренном прямолинейном движении равно площади трапеции ODEF . Соответствующие построения выполнены для графика II на рис. 1.4.2. Время t принято равным 5,5 с.

Так как υ - υ 0 = at , окончательная формула для перемещения s тела при равномерно ускоренном движении на промежутке времени от 0 до t запишется в виде:

(**)

Для нахождения координаты y тела в любой момент времени t нужно к начальной координате y 0 прибавить перемещение за время t :

(***)

Это выражение называют законом равноускоренного движения .

При анализе равноускоренного движения иногда возникает задача определения перемещения тела по заданным значениям начальной υ 0 и конечной υ скоростей и ускорения a . Эта задача может быть решена с помощью уравнений, написанных выше, путем исключения из них времени t . Результат записывается в виде

Из этой формулы можно получить выражение для определения конечной скорости υ тела, если известны начальная скорость υ 0 , ускорение a и перемещение s :

Если начальная скорость υ 0 равна нулю, эти формулы принимают вид

Следует еще раз обратить внимание на то, что входящие в формулы равноускоренного прямолинейного движения величины υ 0 , υ, s , a , y 0 являются величинами алгебраическими. В зависимости от конкретного вида движения каждая из этих величин может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Если мгновенная скорость движущегося тела растет, то движение называют ускоренным, если мгновенная скорость уменьшается, то движение называют замедленным.

Скорость в различных неравномерных движениях изменяется по разному. Например, товарный поезд, отходя от станции, движется ускоренно; на перегоне - то ускоренно, то равномерно, то замедленно; подходя к станции, он движется замедленно. Пассажирский поезд также движется неравномерно, но его скорость изменяется быстрее, чем у товарного поезда. Скорость пули в канале ствола винтовки возрастает от нуля до сотен метров в секунду за несколько тысячных долей секунды; при попадании в препятствие скорость пули уменьшается до нуля также очень быстро. При взлете ракеты ее скорость растет сначала медленно, а потом все быстрее.

Среди разнообразных ускоренных движений встречаются движения, в которых мгновенная скорость за любые равные промежутки времени увеличивается на одну и ту же величину. Такие движения называют равноускоренными. Шарик, начинающий скатываться по наклонной плоскости или начинающий свободно падать на Землю, движется равноускоренно. Заметим, что равноускоренный характер этого движения нарушается трением и сопротивлением воздуха, которые пока учитывать не будем.

Чем больше угол наклона плоскости, тем быстрее растет скорость скатывающегося по ней шарика. Еще быстрее растет скорость свободно падающего шарика (примерно на 10 м/с за каждую секунду). Для равноускоренного движения можно количественно охарактеризовать изменение скорости с течением времени, вводя новую физическую величину - ускорение.

В случае равноускоренного движения ускорением называют отношение приращения скорости к промежутку времени, за который это приращение произошло:

Ускорение будем обозначать буквой . Сравнивая с соответственным выражением из § 9, можно сказать, что ускорение есть скорость изменения скорости.

Пусть в момент времени скорость была , а в момент она стала равной , так что за время приращение скорости составляет . Значит, ускорение

(16.1)

Из определения равноускоренного движения следует, что эта формула даст одно и то же ускорение, какой бы промежуток времени ни выбрать. Отсюда видно также, что при равноускоренном движении ускорение численно равно приращению скорости за единицу времени. В СИ единица ускорения есть метр на секунду в квадрате (м/с2), т. е. метр в секунду за секунду.

Если путь и время измерены в других единицах, то и для ускорения надо принимать соответственные единицы измерения. В каких бы единицах ни выражать путь и время, в обозначении единицы ускорения в числителе стоит единица длины, а в знаменателе - квадрат единицы времени. Правило перехода к другим единицам длины и времени для ускорения аналогично правилу для скоростей (§11). Например,

1 см/с^2=36 м/мин^2.

Если движение не является равноускоренным, то можно ввести, пользуясь той же формулой (16.1), понятие среднего ускорения. Оно охарактеризует изменение скорости за определенный промежуток времени на пройденном за этот промежуток времени участке пути. На отдельных же отрезках этого участка среднее ускорение может иметь разные значения (ср. со сказанным в § 14).

Если выбирать такие малые промежутки времени, что в пределах каждого из них среднее ускорение остается практически неизменным, то оно будет характеризовать изменение скорости на любой части этого промежутка. Найденное таким образом ускорение называют мгновенным ускорением (обычно слово «мгновенное» опускают, ср. § 15). При равноускоренном движении мгновенное ускорение постоянно и равно среднему ускорению за любой промежуток времени.

При прямолинейном движении векторы и направлены вдоль одной прямой, которая является в то же время и траекторией движения. Вдоль этой же прямой в направлении движения телами условились направлять и координатную ось (ось X). В таком случае вектор разности а значит и вектор ускорения а, лежш на той же прямой (см. § 6). Но куда он направлен - в сторону движения (так же как ось X) или против него?

В § 6 мы видели, что проекция разности двух векторов на какую-нибудь ось равна разности их проекций на ту же ось. Следовательно, для проекций векторов и на ось X можно написать

Здесь а - проекция вектора а на ось проекции векторов и на ту же ось.

Так как все три вектора лежат на одной прямой (оси X), то абсолютные значения их проекций равны абсолютным значениям самих векторов.

Рассмотрим 2 случая ускоренного движения тела.

Первый случай. Скорость тела по абсолютному значению растет (тело «разгоняется»). Это значит, что Тогда из формулы (1) видно, что проекция ускорения а положительна и равна Вектор а, следовательно, направлен так же, как ось X, т. е. в сторону движения. Когда, например, бронебойный снаряд движется при выстреле в стволе орудия, его скорость растет и ускорение направлено так же, как и скорость (рис. 39).

Второй случай. Тело тормозится, т. е. абсолютное значение его скорости уменьшается Из формулы (1) видно, что проекция ускорения а в этом случае отрицательна:

Из формулы (1) можно получить выражение для скорости :

В этой формуле, повторяем, - проекции векторов на ось X, которые могут быть как положительными, так и отрицательными.

При решении задач выражение для скорости (2) удобно записывать так, чтобы из него сразу было видно, как направлен вектор ускорения.

Если скорость тела растет (разгон), то и

Когда же скорость тела уменьшается (торможение),

Понятно, что тело, которое тормозится, должно когда-то остановиться. Это произойдет, как это видно из формулы (26), тогда, когда станет равным т. е. в момент времени Но если ускорение остается постоянным (по модулю и направлению) и после этого момента, то тело, остановившись, начнет двигаться в противоположную сторону. Это видно из того, что при станет больше, чем скорость изменит свой знак на обратный. Так

движется, например, тело, брошенное вертикально вверх: долетев до высшей точки траектории, тело начинает движение вниз.

Если и вектор ускорения направлен так же, как и ось координат, то из формулы (2а) следует, что

Если же ось координат выбрана так, что направление вектора ускорения противоположно направлению оси координат, то из формулы (26) следует, что

Знак в этой формуле означает, что вектор скорости, так же как и вектор ускорения, направлен противоположно направлению оси координат. Модуль скорости, конечно, и в этом случае увеличивается со временем.

Обычно мы называем движение с возрастающей по абсолютной величине скоростью ускоренным движением, а движение с убывающей скоростью медленным движение Но в механике любое неравномерное движение является ускоренным движением. Трогается ли автомобиль с места или тормозит, в обоих случаях он движется с ускорением. Ускоренное прямолинейное движение отличается от замедленного только знаком проекции вектора ускорения.

Мы знаем, что и перемещение, и скорость, и траектория движения различны относительно разных тел отсчета, движущихся друг относительно друга.

А ускорение? Относительно ли оно?

Ускорение тела, как мы теперь знаем, определяется векторной разностью двух значений его скорости в различные моменты времени. При переходе от одной системы координат к другой, движущейся относительно первой равномерно и прямолинейно, изменятся оба значения скорости. Но изменятся они на одну и ту же величину. Разность же их останется неизменной. Поэтому и ускорение останется неизменным.

Во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, ускорение тела одинаково.

Но ускорения тела будут различными в системах отсчета, движущихся с ускорением друг относительно друга. В этом случае ускорения складываются так же, как скорости (см. § 10).

Задача. Автомобиль проезжает мимо наблюдателя, двигаясь со скоростью 10 м/сек. В этот момент водитель нажимает на тормоз, и автомобиль начинает двигаться с ускорением Сколько времени пройдет с того момента, когда водитель нажал на тормоз, до остановки автомобиля?

Решение. Выберем за начало отсчета то место, в котором находится наблюдатель, и направим координатную ось в сторону движения автомобиля. Тогда проекция скорости автомобиля на эту ось будет положительной. Так как скорость автомобиля

уменьшается, то проекция ускорения отрицательна и мы должны воспользоваться формулой (26):

Подставляя в эту формулу численные значения заданных величин, получим:

За положительное направление координатной оси можно принять и направление, противоположное движению. Тогда проекция начальной скорости автомобиля будет отрицательной а проекция ускорения - положительной, и применять тогда нужно формулу (2а):

Результат получился тот же. Да он и не может зависеть от того, как выбрано направление оси координат!

Упражнение 9

1. Что такое ускорение и для чего его нужно знать?

2. При любом неравномерном движении изменяется скорость. Как ускорение характеризует это изменение?

3. Чем отличается замедленное прямолинейное движение от ускоренного?

4. Что такое равноускоренное движение?

5. Троллейбус, трогаясь с места, движется с постоянным ускорением Через сколько времени он приобретет скорость 54 км/ч?

6. Автомобиль, движущийся со скоростью 36 км/ч, останавливается при торможении в течение 4 сек. С каким ускорением движется автомобиль при торможении?

7. Грузовик, двигаясь с постоянным ускорением, на некотором участке пути увеличил свою скорость с 15 до 25 м/сек. За какое время произошло это увеличение скорости, если ускорение грузовика равно

8. Какая скорость движения была бы достигнута, если бы тело двигалось прямолинейно с ускорением в течение 0,5 ч при начальной скорости, равной нулю?

В этой теме мы рассмотрим очень особенный вид неравномерного движения. Исходя из противопоставления равномерному движению , неравномерное движение - это движение с неодинаковой скоростью, по любой траектории . В чем особенность равноускоренного движения? Это неравномерное движение, но которое "равно ускоряется" . Ускорение у нас ассоциируется с увеличением скорости. Вспомним про слово "равно", получим равное увеличение скорости. А как понимать "равное увеличение скорости", как оценить скорость равно увеличивается или нет? Для этого нам потребуется засечь время, оценить скорость через один и тот же интервал времени. Например, машина начинает двигаться, за первые две секунды она развивает скорость до 10 м/с, за следующие две секунды 20 м/с, еще через две секунды она уже двигается со скоростью 30 м/с. Каждые две секунды скорость увеличивается и каждый раз на 10 м/с. Это и есть равноускоренное движение.

Физическая величина, характеризующая то, на сколько каждый раз увеличивается скорость называется ускорением.

Можно ли движение велосипедиста считать равноускоренным, если после остановки в первую минуту его скорость 7км/ч, во вторую - 9км/ч, в третью 12км/ч? Нельзя! Велосипедист ускоряется, но не одинаково, сначала ускорился на 7км/ч (7-0), потом на 2 км/ч (9-7), затем на 3 км/ч (12-9).

Обычно движение с возрастающей по модулю скоростью называют ускоренным движением. Движение же с убывающей скоростью - замедленным движением. Но физики любое движение с изменяющейся скоростью называют ускоренным движением. Трогается ли автомобиль с места (скорость растет!), или тормозит (скорость уменьшается!), в любом случае он движется с ускорением.

Равноускоренное движение - это такое движение тела, при котором его скорость за любые равные промежутки времени изменяется (может увеличиваться или уменьшаться) одинаково

Ускорение тела

Ускорение характеризует быстроту изменения скорости. Это число, на которое изменяется скорость за каждую секунду. Если ускорение тела по модулю велико, это значит, что тело быстро набирает скорость (когда оно разгоняется) или быстро теряет ее (при торможении). Ускорение - это физическая векторная величина , численно равная отношению изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло.

Определим ускорение в следующей задаче. В начальный момент времени скорость теплохода была 3 м/с, в конце первой секунды скорость теплохода стала 5 м/с, в конце второй - 7м/с, в конце третьей 9 м/с и т.д. Очевидно, . Но как мы определили? Мы рассматриваем разницу скоростей за одну секунду. В первую секунду 5-3=2, во вторую секунду 7-5=2, в третью 9-7=2. А как быть, если скорости даны не за каждую секунду? Такая задача: начальная скорость теплохода 3 м/с, в конце второй секунды - 7 м/с, в конце четвертой 11 м/с.В этом случае необходимо 11-7= 4, затем 4/2=2. Разницу скоростей мы делим на промежуток времени.

Эту формулу чаще всего при решении задач применяют в видоизмененном виде:

Формула записана не в векторном виде, поэтому знак "+" пишем, когда тело ускоряется, знак "-" - когда замедляется.

Направление вектора ускорения

Направление вектора ускорения изображено на рисунках

На этом рисунке машина движется в положительном направлении вдоль оси Ox, вектор скорости всегда совпадает с направлением движения (направлен вправо). Когда вектор ускорение совпадает с направлением скорости, это означает, что машина разгоняется. Ускорение положительное.

При разгоне направление ускорения совпадает с направлением скорости. Ускорение положительное.

На этом рисунке машина движется в положительном направлении по оси Ox, вектор скорости совпадает с направлением движения (направлен вправо), ускорение НЕ совпадает с направлением скорости, это означает, что машина тормозит. Ускорение отрицательное.

При торможении направление ускорения противоположно направлению скорости. Ускорение отрицательное.

Разберемся, почему при торможении ускорение отрицательное. Например, теплоход за первую секунду сбросил скорость с 9м/с до 7м/с, за вторую секунду до 5м/с, за третью до 3м/с. Скорость изменяется на "-2м/с". 3-5=-2; 5-7=-2; 7-9=-2м/с. Вот откуда появляется отрицательное значение ускорения.

При решении задач, если тело замедляется, ускорение в формулы подставляется со знаком "минус"!!!

Перемещение при равноускоренном движении

Дополнительная формула, которую называют безвременной

Формула в координатах

Связь со средней скоростью

При равноускоренном движении среднюю скорость можно рассчитывать как среднеарифметическое начальной и конечной скорости

Из этого правила следует формула, которую очень удобно использовать при решении многих задач

Соотношение путей

Если тело движется равноускоренно, начальная скорость нулевая, то пути, проходимые в последовательные равные промежутки времени, относятся как последовательный ряд нечетных чисел.

Главное запомнить

1) Что такое равноускоренное движение;
2) Что характеризует ускорение;
3) Ускорение - вектор. Если тело разгоняется ускорение положительное, если замедляется - ускорение отрицательное;
3) Направление вектора ускорения;
4) Формулы, единицы измерения в СИ

Упражнения

Два поезда идут навстречу друг другу: один - ускоренно на север, другой - замедленно на юг. Как направлены ускорения поездов?

Одинаково на север. Потому что у первого поезда ускорение совпадает по направлению с движением, а у второго - противоположное движению (он замедляется).